(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4 幂函数与二次函

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§2.4幂函数与二次函数第二章函数概念与基本初等函数ⅠZUIXINKAOGANG最新考纲1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1x12xNEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1图象1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较y=xα知识梳理ZHISHISHULI12x性质定义域RRR___________________值域R_________R__________________奇偶性函数函数函数函数函数单调性在R上单调递增在上单调递减;在上单调递增在R上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点_____{x|x≥0}{x|x≠0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}(-∞,0](0,+∞)[0,+∞)奇偶奇非奇非偶奇(-∞,0)(0,+∞)(1,1)解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0)图象定义域________2.二次函数的图象和性质RR值域单调性在x∈上单调递减;在x∈上单调递增在x∈上单调递增;在x∈上单调递减对称性函数的图象关于直线x=-对称4ac-b24a,+∞-∞,4ac-b24a-∞,-b2a-b2a,+∞-∞,-b2a-b2a,+∞b2a1.二次函数的解析式有哪些常用形式?提示(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:y=a(x-m)2+n(a≠0);(3)零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),写出f(x)≥0恒成立的条件.提示a0且Δ≤0.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[a,b]的最值一定是()(2)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.()(3)函数y=是幂函数.()(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()(5)当n0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.()×√×√×基础自测JICHUZICE1234564ac-b24a.122x2.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点12,22,则k+α等于A.12B.1C.32D.2解析由幂函数的定义,知k=1,22=k·12α.∴k=1,α=12.∴k+α=32.题组二教材改编√1234563.已知函数f(x)=x2+4ax在区间(-∞,6)内单调递减,则a的取值范围是A.a≥3B.a≤3C.a-3D.a≤-3解析函数f(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x=-2a,由函数在区间(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线x=-2a的左侧,∴-2a≥6,解得a≤-3,故选D.123456√题组三易错自纠4.幂函数f(x)=(a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则a等于A.3B.4C.5D.6解析因为a2-10a+23=(a-5)2-2,f(x)=(a∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是减函数,所以(a-5)2-20,从而a=4,5,6,又(a-5)2-2为偶数,所以只能是a=5,故选C.√12345621023aax-+2(5)2ax--5.已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则y的最小值是______.-1123456解析函数y=2x2-6x+3的图象的对称轴为x=321,∴函数y=2x2-6x+3在[-1,1]上单调递减,∴ymin=2-6+3=-1.解析f(x)=x2-x+a图象的对称轴为直线x=12,6.设二次函数f(x)=x2-x+a(a0),若f(m)0,则f(m-1)____0.(填“”“”或“=”)且f(1)0,f(0)0,而f(m)0,∴m∈(0,1),∴m-10,∴f(m-1)0.1234562题型分类深度剖析PARTTWO题型一幂函数的图象和性质1.若幂函数的图象经过点则它的单调递增区间是A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)√自主演练2,14,解析设f(x)=xα,则2α=14,α=-2,即f(x)=x-2,它是偶函数,单调递增区间是(-∞,0).故选D.2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是A.dcbaB.abcdC.dcabD.abdc解析由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知abcd,故选B.√3.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为A.-3B.1C.2D.1或2解析由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意,故选B.23nnx-√4.(2018·潍坊模拟)若(a+1)(3-2a),则实数a的取值范围是__________________.解析不等式(a+1)(3-2a)等价于a+13-2a0或3-2aa+10或a+103-2a,1313(-∞,-1)∪23,321313解得a-1或23a32.(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.思维升华题型二求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对∀x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为________________.解析由f(0)=3,得c=3,又f(1+x)=f(1-x),∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴b2=1,∴b=2,师生共研f(x)=x2-2x+3∴f(x)=x2-2x+3.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________.x2+2x解析设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a≠0),所以f(x)=ax2+2ax,由4a×0-4a24a=-1,得a=1,所以f(x)=x2+2x.求二次函数解析式的方法思维升华跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=__________.x2+2x+1解析设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a≠0),又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=_________.x2-4x+3解析因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),又f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.题型三二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象例2(2018·重庆五中模拟)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是√多维探究命题点2二次函数的单调性例3函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是A.[-3,0)B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]√解析当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意.当a≠0时,f(x)的对称轴为x=3-a2a,由f(x)在[-1,+∞)上单调递减,知a0,3-a2a≤-1,解得-3≤a0.综上,a的取值范围为[-3,0].若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是[-1,+∞),则a=_____.-3解析由题意知f(x)必为二次函数且a0,引申探究又3-a2a=-1,∴a=-3.命题点3二次函数的最值例4已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.解f(x)=a(x+1)2+1-a.(1)当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;(2)当a0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=38;(3)当a0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.综上可知,a的值为38或-3.将本例改为:求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值.解f(x)=(x+a)2+1-a2,∴f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-a.(1)当-a12即a-12时,f(x)max=f(2)=4a+5,(2)当-a≥12即a≤-12时,f(x)max=f(-1)=2-2a,综上,f(x)max=4a+5,a-12,2-2a,a≤-12.引申探究解析设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1,又f(x+1)-f(x)=2x,得2ax+a+b=2x,所以a=1,b=-1,所以f(x)=x2-x+1.f(x)2x+m在区间[-1,1]上恒成立,即x2-3x+1-m0在[-1,1]上恒成立,命题点4二次函数中的恒成立问题例5(1)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,若不等式f(x)2x+m在区间[-1,1]上恒成立,则实数m的取值范围为____________.(-∞,-1)令g(x)=x2-3x+1-m=x-322-54-m,x∈[-1,1],g(x)在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=1-3+1-m0,所以m-1.(2)函数f(x)=a2x+3ax-2(a1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为_____.2解析令ax=t,因为a1,x∈[-1,1],所以1a≤t≤a,原函数化为g(t)=t2+3t-2,t∈1a,a,显然g(t)在1a,a上单调递增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,所以有a2+3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a1,所以a的最大值为2.解决二次函数图象与性质问题时要注意:(1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论;(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解).(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.思维升华即-b2≤0,得b≥0.跟踪训练2(1)函数y=x2+bx

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