（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.3 函数的奇偶性与

§2.3函数的奇偶性与周期性第二章函数概念与基本初等函数ⅠZUIXINKAOGANG最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称1.函数的奇偶性f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点知识梳理ZHISHISHULI2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正数1.如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.【概念方法微思考】提示T＝2|a|；提示T＝2|a|；提示T＝|a－b|.2.已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0).(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b).(2)f(x＋a)＝1fx(a≠0).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.()××√基础自测JICHUZICE123456题组二教材改编2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝______.123456－2解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.＝－4x2＋2，－1≤x0，x，0≤x1，则f32＝____.3.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)1解析f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.1234564.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为______________.解析由图象可知，当0x2时，f(x)0；当2x≤5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，∴当－2x0时，f(x)0，当－5≤x－2时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(－2,0)∪(2,5].123456(－2,0)∪(2,5]A.－13B.13C.12D.－125.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是解析∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，123456题组三易错自纠√∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝13.1234566.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝____.解析∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1).又f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3).∴f(－1)＝3.32题型分类深度剖析PARTTWO题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：师生共研(1)f(x)＝36－x2＋x2－36；解由36－x2≥0，x2－36≥0，得x2＝36，解得x＝±6，即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f(x)＝36－x2＋x2－36＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)f(x)＝ln1－x2|x－2|－2；解由1－x20，|x－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称.∴x－20，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝ln1－x2－x.又∵f(－x)＝ln[1－－x2]x＝ln1－x2x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.(3)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.解显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.思维升华所以f(x)＝3x－13x为奇函数；跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A.f(x)＝x＋sin2xB.f(x)＝x2－cosxC.f(x)＝3x－D.f(x)＝x2＋tanx13x对于选项C，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝－3x－13x＝－f(x)，解析对于选项A，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，所以f(x)＝x2－cosx为偶函数；√只有f(x)＝x2＋tanx既不是奇函数也不是偶函数.故选D.又函数y＝x＋1x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D，故选B.A.y＝xB.y＝－x3C.y＝xD.y＝x＋1x(2)(2018·石景山模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为12log√解析由题意得，对于函数y＝x和函数y＝x都是非奇非偶函数，排除A，C.12log题型二函数的周期性及其应用自主演练解析f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.1.(2018·抚顺模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.－22.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－fx，则f(2020)＝________.－2－3解析由f(x＋2)＝1－fx，得f(x＋4)＝1－fx＋2＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4).因为f(2＋2)＝1－f2，所以f(4)＝－1f2＝－12－3＝－2－3.故f(2020)＝－2－3.3.(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝_____.6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x1时，f(x)＝2x－1，________.解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.则f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝2－1∴f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝f12＋0＋f－12＋f(0)＋f12＝f12－f12＋f(0)＋f12＝f12＋f(0)＝122－1＋20－1＝2－1.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.思维升华题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝则f(2021)＝_____.多维探究ax＋b，－2≤x0，ax－1，0x≤2，－12(2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝__________________.解析∵当x0时，－x0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，e－x－1－x，x≤0，ex－1＋x，x0∴f(x)＝e－x－1－x，x≤0，ex－1＋x，x0.命题点2求参数问题例3(1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝____.1解析∵f(－x)＝f(x)，a＋x2∴－xln(a＋x2－x)＝xln(x＋a＋x2)，∴ln[(a＋x2)2－x2]＝0.∴lna＝0，∴a＝1.(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12＝f32，则a＋3b的值为______.－10(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝－x2＋ax－1－a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是_________.[－1,0]解析因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x0时，函数为减函数，且－1－a≤0，此时－a－2＝a2≤0，－1－a≤0，即a≤0，a≥－1，即－1≤a≤0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)(2018·聊城模拟)已知函数f(x)＝|x|(10x－10－x)，则不等式f(1－2x)＋f(3)0的解集为A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(－∞，1)D.(1，＋∞)解析由于f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f(1－2x)＋f(3)0等价于f(1－2x)－f(3)＝f(－3)，所以1－2x－3，x2，故选A.√(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，解不等式f(x)f(2x－1)．11＋x2解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解.思维升华A.减函数且f(x)0B.减函数且f(x)0C.增函数且f(x)0D.增函数且f(x)0跟踪训练2(1)定义在R上的奇函数f(x)满足fx＋32＝f(x)，当x∈0，12时，f(x)＝(1－x)，则f(x)在区间1，32内是12log√(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是A.[3,5]B.[－1,1]C.[1,3]D.[－1,1]∪[3,5]√解析由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则在区间(－∞，0)上单调递减，又f(1)＝－1，f(3)＝1，则f(－1