（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.2 函数的单调性与

§2.2函数的单调性与最值第二章函数概念与基本初等函数ⅠZUIXINKAOGANG最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数1.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)知识梳理ZHISHISHULI图象描述自左向右看图象是_______自左向右看图象是_______(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做y＝f(x)的单调区间.上升的下降的增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得________(3)对于任意的x∈I，都有；(4)存在x0∈I，使得_________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？【概念方法微思考】提示对∀x1，x2∈D，fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似.2.写出对勾函数y＝x＋ax(a0)的增区间.提示(－∞，－a]和[a，＋∞).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.()(5)所有的单调函数都有最值.()×××××基础自测JICHUZICE1234561x78题组二教材改编2.函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________________________.123456[1，＋∞)(或(1，＋∞))3.函数y＝在[2,3]上的最大值是____.22x－1784.若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是__________.解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.123456(－∞，2]785.函数y＝(x2－4)的单调递减区间为_________.(2，＋∞)123456题组三易错自纠12log78123456786.若函数f(x)＝|x－a|＋1的增区间是[2，＋∞)，则a＝______.2解析∵f(x)＝|x－a|＋1的单调递增区间是[a，＋∞)，∴a＝2.解析由条件知－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋12a，1234567.函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是________.[－1,1)解得－1≤a1.788.函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为______.解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，1234562所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.782题型分类深度剖析PARTTWO题型一确定函数的单调性多维探究命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)√解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－80，解得x4或x－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞).(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________.[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图.由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞).例2判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1a3)在[1,2]上的单调性.命题点2讨论函数的单调性如何用导数法求解本例？引申探究解f′(x)＝2ax－1x2＝2ax3－1x2，因为1≤x≤2，所以1≤x3≤8，又1a3，所以2ax3－10，所以f′(x)0，所以函数f(x)＝ax2＋1x(其中1a3)在[1,2]上是增函数.确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.思维升华对于f(x)＝1x－x，因为y＝1x与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0”的是A.f(x)＝2xB.f(x)＝|x－1|C.f(x)＝－xD.f(x)＝ln(x＋1)1x√解析由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(2)函数f(x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是___________.(－∞，2]解析因为f(x)在R上单调递增，所以a－10，即a1，因此g(x)的单调递减区间就是y＝|x－2|的单调递减区间(－∞，2].(3)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是______.[1,2]解析f(x)＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x2.画出f(x)图象，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].题型二函数的最值1.函数y＝x2－1x2＋1的值域为_______.[－1,1)故所求函数的值域为[－1,1).解析由y＝x2－1x2＋1，可得x2＝1＋y1－y.自主演练由x2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y1，2.函数y＝x＋的最大值为____.解析由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.可令x＝cosθ，θ∈[0，π]，1－x22则y＝cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤2，故原函数的最大值为2.3.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为__________.[3，＋∞)解析函数y＝－2x＋1，x≤－1，3，－1x2，2x－1，x≥2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞).4.函数y＝的值域为________________.3x＋1x－2解析y＝3x＋1x－2＝3x－2＋7x－2＝3＋7x－2，因为7x－2≠0，所以3＋7x－2≠3，所以函数y＝3x＋1x－2的值域为{y|y∈R且y≠3}.{y|y∈R且y≠3}y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.5.函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为____.13x解析由于y＝13x在[－1,1]上单调递减，36.若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－mA.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关√求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.思维升华(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f－12＝f52，且2523，所以bac.题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为A.cabB.cbaC.acbD.bac√多维探究f－12，解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)0的解集是A.{x|－3x0或x3}B.{x|x－3或0x3}C.{x|x－3或x3}D.{x|－3x0或0x3}√A.π4B.π2C.3π4D.π命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是√解析∵f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx－π4，∴当x－π4∈－π2，π2，即x∈－π4，3π4时，y＝sinx－π4单调递增，f(x)＝－2sinx－π4单调递减，∴－π4，3π4是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a]⊆－π4，3π4，∴a≤3π4，即amax＝3π4.(2)已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.(1,2]则a≤2，又y＝ax－a(x1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为1a≤2.x2＋12a－2，x≤1，ax－a，x1，解析由题意，得12＋12a－2≤0，(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__________.解析设g(x)＝x2－ax＋3a，根据对数函数及复合函数的单调性知，g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)0，∴a2≤2，4＋a0，∴－4a≤4，∴实数a的取值范围是(－4,4].(－4,4]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.思维升华所以2－a0，a1，2－a×1＋1≤a，解得32≤a2.故实数a的取值范围是32，2.跟踪训练2(1)如果函数f(x)＝2－ax＋1，x1，ax，x≥1满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，那么a的取值范