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§8.7立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离第八章立体几何与空间向量ZUIXINKAOGANG最新考纲1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则知识梳理ZHISHISHULIl1与l2所成的角θa与b的夹角β范围[0，π]求法cosθ＝_____0，π2|a·b||a||b|cosβ＝a·b|a||b|2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝.|a·n||a||n|3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝.〈AB→，CD→〉(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).|cos〈n1，n2〉|1.利用空间向量如何求线段长度？【概念方法微思考】2.如何求空间点面之间的距离？提示利用|AB→|2＝AB→·AB→可以求空间中有向线段的长度.提示点面距离的求法：已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为|BO→|＝|AB→||cos〈AB→，n〉|.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()基础自测JICHUZICE12345×××(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π].()√(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.()12345×题组二教材改编2.已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为A.45°B.135°C.45°或135°D.90°12345∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.解析cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11·2＝22，即〈m，n〉＝45°.√123453.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为___.π64.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为12345题组三易错自纠A.110B.25C.3010D.22√123455.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝，则l与α所成的角为_____.∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.－1230°解析设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－12，∴sinθ＝|cos〈m，n〉|＝12，2题型分类深度剖析PARTTWO题型一求异面直线所成的角师生共研例1如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.思维升华跟踪训练1三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为A.110B.35C.710D.45√题型二求直线与平面所成的角例2(2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.师生共研(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；证明由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝π2－β或θ＝β－π2，故有sinθ＝|cosβ|＝|l·n||l||n|.思维升华(1)证明：PO⊥平面ABC；跟踪训练2(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.22(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.题型三求二面角师生共研例3(2018·济南模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O.如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.(1)证明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE＝2AE，求二面角C—BQ—A的余弦值.思维升华利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；跟踪训练3(2018·全国Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.CDCD(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.例(12分)如图，四棱锥S－ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CS＝2，∠BSD＝90°.答题模版DATIMUBAN利用空间向量求空间角(1)求证：AC⊥平面SBD；(2)若SC⊥BD，求二面角A－SB－C的余弦值.3课时作业PARTTHREE12345678910111213141516基础保分练1.已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1，0)，n＝(0，1，－1)，则两平面所成的二面角为A.60°B.120°C.60°或120°D.90°√即〈m，n〉＝120°.∴两平面所成二面角为120°或180°－120°＝60°.解析cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝－12·2＝－12，123456789101112131415162.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为A.55B.53C.56D.54√3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为12345678910111213141516A.12B.23C.33D.22√123456789101112131415164.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与B1D所成角的大小为A.π6B.π4C.π3D.π2√123456789101112131415165.(2018·上饶模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝AA1＝2，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为A.0B.－14C.14D.12√123456789101112131415166.(2018·上海松江、闵行区模拟)如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O－xyz的三条坐标轴上，OC→＝(0，0，2)，平面ABC的法向量为n＝(2，1，2)，设二面角C－AB－O的大小为θ，则cosθ等于A.43B.53C.23D.－23√123456789101112131415167.在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为_____.55123456789101112131415168.如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶2，则AF与CE所成角的余弦值为____.45123456789101112131415169.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是____.60°1234567891011121314151610.(2018·福州质检)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为_____.2312345678910111213141516(1)证明：B1Q⊥A1C；11.(2018·皖江八校联考)如图，在几何体ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，四边形A1ACC1是正方形，B1C1∥BC，Q是A1B的中点，且AC＝BC＝2B1C1，∠ACB＝2π3.12345678910111213141516(2)求直线AC与平面A1BB1所成角的正弦值.12345678910111213141516(1)证明：平面BEF⊥平面PEC；12.(2018·赣州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠CDA＝90°，CD＝2AB＝2，AD＝3，PA＝5，PD＝22，点E在棱AD上且AE＝1，点F为棱PD的中点.12345678910111213141516(2)求二面角A－BF－C的余弦值.12345678910111213141516技能提升练13.如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3.E，F分别为线段BC，SB上的一点(端点除外)，满足SFBF＝CEBE＝λ，当∠AFE为直角时，求实数λ的值.1234567891011121314151614.(2018·海南五校模拟)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N，Q分别是CC1，BC，AC的中点，点P在直线A1B1上运动，且A1P→＝λA1B1——→(λ∈[0，1]).(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ；(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为60°？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由.1234567891011121314151612345678910111213141516拓展冲刺练A.1B.2C.13D.2615.在四棱锥P－ABCD中，AB→＝(4，－2，3)，AD→＝(－4，1，0)，AP→＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h等于√1234567891011121314151616.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.(1)求证：EF⊥平面BCF；12345678910111213141516(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.