（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线、平面垂直的判

§8.4直线、平面垂直的判定与性质第八章立体几何与空间向量ZUIXINKAOGANG最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.直线与平面垂直知识梳理ZHISHISHULI任意一条(1)定义如果直线l与平面α内的直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____⇒a∥b相交平行_________________________a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b__________a⊥αb⊥α2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是的角.它在平面上的射影直角0°(2)范围：0，π2.3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.两个半平面垂直于棱直二面角(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α垂线交线l⊥αl⊂βα⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面.【概念方法微思考】2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.()(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.()(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.()(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()基础自测JICHUZICE12345×××√√×6题组二教材改编2.下列命题中错误的是A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β√12345解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的.6123453.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的___心；外解析如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.612345(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的___心.垂解析如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.64.(2018·赣州模拟)若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345题组三易错自纠解析由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.√6123455.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是A.与AC，MN均垂直B.与AC垂直，与MN不垂直C.与AC不垂直，与MN垂直D.与AC，MN均不垂直√6123456.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是A.MN∥ABB.平面VAC⊥平面VBCC.MN与BC所成的角为45°D.OC⊥平面VAC6√2题型分类深度剖析PARTTWO题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点.当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.师生共研证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.思维升华证明在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.求证：(1)EF∥平面ABC；跟踪训练1(2018·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.(2)AD⊥AC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.师生共研(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥Q－ABP的体积.(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.思维升华跟踪训练2(2018·武昌调研)如图，三棱锥P－ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)若PA＝PC，求三棱锥P－ABC的体积.解因为PA＝PC，PA⊥PC，AC＝2，所以PA＝PC＝2.由(1)知BO⊥平面PAC，所以VP－ABC＝VB－APC＝13S△PAC·BO＝13×12×2×2×3＝33.题型三垂直关系的综合应用多维探究命题点1直线与平面所成的角例3如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.(1)证明：△PBC是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为2时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.命题点2与垂直有关的探索性问题(1)求证：C1E∥平面ADF；例4如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF.对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证.途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.途径三：将几何问题转化为代数问题.思维升华跟踪训练3如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.(1)求证：平面CFG⊥平面ACE；(2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由.3课时作业PARTTHREE1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n12345678910111213141516基础保分练解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.√2.(2018·潍坊模拟)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下结论：①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β；②m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α⇒α∥β；③m⊥β，n⊥α，m⊥n⇒α⊥β；④m⊂α，m∥n⇒n∥α.其中正确结论的个数是A.0B.1C.2D.312345678910111213141516√3.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是12345678910111213141516A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE√123456789101112131415164.(2018·昆明适应性检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则A.MN∥C1D1B.MN⊥BC1C.MN⊥平面ACD1D.MN⊥平面ACC1√123456789101112131415165.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为A.5π12B.π3C.π4D.π6√123456789101112131415166.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为__.4解析∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形.123456789101112131415167.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线____上.AB解析∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.123456789101112131415168.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_______________________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.DM⊥PC(或BM⊥PC等)123456789101112