搜索
§8.2空间点、直线、平面之间的位置关系第八章立体几何与空间向量ZUIXINKAOGANG最新考纲1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.四个公理知识梳理ZHISHISHULI公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相.两点不在一条直线上有且只有一条平行2.直线与直线的位置关系共面直线异面直线：不同在一个平面内，没有公共点平行相交任何直线直线(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).0，π2.锐角(或直角)3.直线与平面的位置关系有、、___________三种情况.4.平面与平面的位置关系有、两种情况.直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行平行相交5.等角定理空间中如果两个角的，那么这两个角相等或互补.两边分别对应平行②范围：.1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交.【概念方法微思考】2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()基础自测JICHUZICE12345√×√×6(5)没有公共点的两条直线是异面直线.()(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线.()12345××6题组二教材改编2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°√12345解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.6123453.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；AC＝BD∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，解析∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.解析∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形.AC＝BD且AC⊥BD64.α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是A.垂直B.相交C.异面D.平行12345题组三易错自纠解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.√6123455.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.√6123456.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为__.解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.362题型分类深度剖析PARTTWO题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；师生共研(2)CE，D1F，DA三线共点.证明∵EF∥CD1，EFCD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合.(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.思维升华跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；证明∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面.∵在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.证明∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线.题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交师生共研解析由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交.故选D.√(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是A.相交但不垂直B.相交且垂直C.异面D.平行√空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.思维升华跟踪训练2(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为_____.(注：把你认为正确的结论序号都填上)③④题型三求两条异面直线所成的角师生共研例3(2018·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为A.15B.25C.35D.45√引申探究解设AA1AB＝t(t0)，则AA1＝tAB.∵A1C1＝2，A1B＝t2＋1＝BC1，∴cos∠A1BC1＝A1B2＋BC21－A1C212×A1B×BC1＝t2＋1＋t2＋1－22×t2＋1×t2＋1＝910.将上例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910”，试求AA1AB的值.∵AB＝1，∴AA1＝t.∴t＝3，即AA1AB＝3.用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角.思维升华跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A.22B.32C.52D.72√直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG立体几何中的线面位置关系例如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥FA且BE＝12FA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；证明由已知FG＝GA，FH＝HD，∴GH∥BC且GH＝BC，∴四边形BCHG为平行四边形.可得GH∥AD且GH＝12AD.又BC∥AD且BC＝12AD，(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解∵BE∥AF且BE＝12AF，G为FA的中点，∴BE∥FG且BE＝FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH.∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异.3课时作业PARTTHREE1.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为A.4B.3C.2D.112345678910111213141516基础保分练解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面.√2.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c12345678910111213141516解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.√3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC√12345678910111213141516解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.123456789101112131415164.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是A.A，M，O三点共线B.A，M，O，A1不共面C.A，M，C，O不共面D.B，B1，O，M共面√5.(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为12345678910111213141516A.32B.155C.105D.33√123456789101112