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§8.1空间几何体的结构、表面积与体积第八章立体几何与空间向量ZUIXINKAOGANG最新考纲1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征知识梳理ZHISHISHULI名称棱柱棱锥棱台图形底面互相_____且_____多边形互相_____侧棱___________相交于_____但不一定相等延长线交于______侧面形状________________________平行且相等平行四边形三角形梯形一点一点平行全等平行名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且____于底面相交于______延长线交于____轴截面全等的_____全等的__________全等的___________侧面展开图_______________(2)旋转体的结构特征垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝____S圆台侧＝__________2πrlπrlπ(r1＋r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝______锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝_________台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下球S＝______V＝_____S底·h13S底·hV＝13(S上＋S下＋S上S下)h43πR34πR21.底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗？为什么？提示不一定.因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱.【概念方法微思考】2.如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.()(4)锥体的体积等于底面积与高之积.()()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()××√基础自测JICHUZICE12345×(5)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.×√2.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A.1cmB.2cmC.3cmD.32cm12345√解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2.题组二教材改编123453.在如图所示的几何体中，是棱柱的为________.(填写所有正确的序号)③⑤4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.12πB.323πC.8πD.4π12345题组三易错自纠√解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.123455.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.1∶47解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－148abc＝4748abc，所以V1∶V2＝1∶47.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一空间几何体的结构特征1.以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.3自主演练√解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确.综上，命题①②③不正确.2.给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正确的命题为________.(填序号)①②③空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定.(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析.思维升华A.122πB.12πC.82πD.10π题型二空间几何体的表面积与体积例1(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为多维探究命题点1空间几何体的表面积√解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.命题点2求简单几何体的体积例2如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为A.3B.32C.1D.32√空间几何体表面积、体积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解.思维升华跟踪训练1如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______.233解析＝1DABCV－11BABCV－＝＝13××3＝233.1BBCs△11ABBCV－例3已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为A.3172B.210C.132D.310题型三与球有关的切、接问题师生共研√1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？引申探究解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，从而V外接球＝43πR3＝43π×(23)3＝323π，V内切球＝43πr3＝43π×23＝32π3.解正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×34·a2＝3a2，2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？其内切球半径r为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2πa26＝63π.解依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为32×2＝6，高为322－12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心.(2)“接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.思维升华跟踪训练2(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为A.123B.183C.243D.543√3课时作业PARTTHREE1.将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆柱、一个圆台D.一个圆柱、两个圆锥√12345678910111213141516基础保分练解析从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图：2.用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为A.32B.32πC.16πD.8π12345678910111213141516√解析若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.3.(2018·辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面√12345678910111213141516解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.4.棱长为a的正四面体的表面积是A.36a2B.312a2C.34a2D.3a212345678910111213141516解析棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4×34a2＝3a2.√A.227B.258C.15750D.35511312345678910111213141516√5.(2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V＝136l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈25942l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取6.(2018·四川棠湖中学月考)用一个平面去截正方体，则截面不可能是A.直角三角形B.等边三角形C.正方形D.正六边形12345678910111213141516√123456789101112131415167.给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是________.②③④8.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则Rr＝________.12345678910111213141516233解析由水面高度升高r，得圆柱体积增加了πR2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有43πr3＝πR2r.故Rr＝233.9.一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为___.12345678910111213141516解析设六棱锥的高为h，则V＝13Sh，所以13×34×4×6h＝23，解得h＝1.12则h2＋(3)2＝h′2，故h′＝2.设六棱锥的斜高为h′，所以该六棱锥的侧面积为12×2×2×6＝12.1234567891011121314151610.(2017·全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为____.14π解析∵长方体的顶点都在球O的球面上，∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径.设球的半径为R，则2R＝32＋22＋12＝14.∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π