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第一单元数与式课时06二次根式关键词二次根式的概念二次根式的性质二次根式的计算考点聚焦考点一二次根式的概念1.二次根式:一般地,我们把形如𝑎(a≥0)的式子叫做二次根式.2.最简二次根式必须同时满足下列条件(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数不含分母.3.同类二次根式:化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.考点二二次根式的性质1.𝑎2=①(a≥0).2.𝑎2=|a|=𝑎(𝑎0),0(𝑎=0),②(𝑎0).3.𝑎𝑏=𝑎·𝑏(a≥0,b≥0).4.𝑎𝑏=𝑎𝑏(a≥0,b0).a-a考点三二次根式的运算2.乘除法:𝑎·𝑏=𝑎𝑏(a≥0,b≥0);𝑎𝑏=𝑎𝑏(a③0,b④0).1.加减法:先把二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式.≥考点四二次根式的估算1.先把二次根式化为a±𝑏(a为整数,b0)的形式(以1+5为例);2.找出与𝑏平方后所得数相邻的两个完全平方数,如4和9,并开方,如4=2,9=3;3.确定根式的值在开方后所得的两个相邻整数之间,如253;4.(1)若求a±𝑏的值在哪两个整数之间,则同时给不等号两边加上整数部分a,如35+14;(2)若确定离哪个整数较近,则再求这两个整数的平均数,如2+32=2.5,最后用平方法比较根式和平均数的大小.若根式的平方大于平均数的平方,则离较大的整数近;若根式的平方小于平均数的平方,则离较小的整数近,如2.52=6.255,则5离2较近,1+5离3较近.1.要使二次根式𝑥-4在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x4B.x≥4C.x4D.x=4对点演练题组一必会题B[解析]根据最简二次根式的定义可知,5是最简二次根式;12的被开方数12中含有开得尽方的因数4,不是最简二次根式;𝑎2的被开方数a2中含有开得尽方的因式a2,不是最简二次根式;1𝑎的被开方数1𝑎中含有分母a,不是最简二次根式.2.下列式子为最简二次根式的是()A.5B.8C.(𝑎+1)2D.1𝑎A3.下列运算正确的是()A.2+3=5B.22×32=62C.8÷2=2D.32−2=34.下列根式中,不能与3合并的是()A.13B.23C.23D.12CC5.估算10+1的值()A.在2和3之间B.在3和4之间C.在4和5之间D.在5和6之间C6.关于8的叙述正确的是()A.在数轴上不存在表示8的点B.8=2+6C.8=±22D.与8最接近的整数是3D[解析]“实数与数轴上的点是一一对应的”,故在数轴上存在表示8的点,A错误;8表示8的算术平方根,所以8=22,B,C错误;因为2.882.9,所以与8最接近的整数是3.7.计算8×2的值是.4[解析]8×2=16=4.8.若(𝑥-3)2=3-x,则x的取值范围是.x≤3[解析]∵(𝑥-3)2≥0,∴3-x≥0,即x≤3.9.若|x-y|+𝑦-2=0,则x+y的值是.4【失分点】求二次根式有意义的条件时容易忽视分式、零指数幂与负整数指数幂有意义的条件;注意(𝑎)2,𝑎2的区别;二次根式运算的最后结果需要化为最简二次根式.题组二易错题B10.使等式𝑥-3𝑥+1=𝑥-3𝑥+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为()图6-111.下列等式正确的是()A.(3)2=3B.(-3)2=-3C.33=3D.(-3)2=-3A例1若式子𝑥+1在实数范围内有意义,则x的取值范围是.考向一二次根式的概念x≥-1精练1要使3-𝑥+12𝑥-1有意义,则x应满足()A.12≤x≤3B.x≤3且x≠12C.12x3D.12x≤3D精练2[2019·南宁]若二次根式𝑥+4有意义,则x的取值范围是.x≥-4例2下列计算正确的是()A.12=23B.32=32C.-𝑥3=x-𝑥D.𝑥2=x考向二二次根式的性质A精练实数a,b在数轴上对应点的位置如图6-2所示,化简|a|+(𝑎-𝑏)2的结果是()A.-2a+bB.2a-bC.-bD.bA图6-2[解析]先利用数轴上a,b的位置得出a0,a-b0,再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.例3计算:45−25×50=.考向三二次根式的运算[解析]45−25×50=35−25×50=35-25=5.𝟓精练1[2016·柳州]计算:22−2=()A.32B.2C.2D.0精练2[2014·柳州]下列计算正确的选项是()A.4-1=3B.(5)2=5C.2a-b=abD.2𝑦+1𝑦=32𝑦BB精练3[2017·柳州]计算:3×5=.[解析]3×5=3×5=15.精练4[2019·南京]计算147−28的结果是.[解析]原式=27-27=0.𝟏𝟓0例4[2019·资阳]设x=15,则x的取值范围是()A.2x3B.3x4C.4x5D.无法确定考向四二次根式的估值B精练1[2019·南京]下列整数中,与10-13最接近的是()A.4B.5C.6D.7[解析]∵91316,∴3134,与13最接近的整数是4,∴与10-13最接近的是6,故选C.C精练2[2019·重庆A卷]估计(23+62)×13的值应在()A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间C教材母题——人教版八下P19复习题16T8改编二次根式中的化简已知n是正整数,189𝑛是整数,则n的最小值是.[解析]∵189𝑛=321𝑛,∴当n=21时,189𝑛是整数.21[解析]先将等式变形成m2017-𝑥=2(x-2010),再根据二次根式的非负性以及积的符号性质,可得2017-𝑥≥0,𝑥-2010≥0,解得2010≤x≤2017.又因为x为整数,所以x可取2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017.分别代入等式验证,正整数m只能取3和12,所以和为15.精练若关于x的方程-2x+m2017-𝑥+4020=0存在整数解,则正整数m的所有取值的和为.15