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第一单元数与式课时04因式分解关键词因式分解考点聚焦考点一因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆运算.1.多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.2.公因式的构成(1)系数:各项系数的最大公约数;(2)字母:各项都含有的相同字母;(3)指数:相同字母的最低次数.3.添括号法则括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变号;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都变号.考点二提公因式法1.常用公式平方差公式:a2-b2=①.完全平方公式:a2±2ab+b2=②.2.常见的两个二项式幂的变号规律(1)(a-b)2n=(b-a)2n.(2)(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1(n为正整数).考点三公式法(a+b)(a-b)(a±b)2x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=③.ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).考点四十字相乘法(x+a)(x+b)一提(提取公因式),二套(套公式),三检验(检验是否还能继续分解).考点五因式分解的一般步骤1.把a2-2a分解因式,正确的是()A.a(a-2)B.a(a+2)C.a(a2-2)D.a(2-a)2.把a2-2a+1分解因式的结果是()A.(a+1)2B.a(a+1)2C.(a+1)(a-2)D.(a-1)23.分解因式:2a2-8=.对点演练题组一必会题AD2(a-2)(a+2)4.分解因式:2x2+4x+2=.2(x+1)2[解析]2x2+4x+2=2(x2+2x+1)=2(x+1)2.5.分解因式:x2(x-2)-16(x-2)=.[解析]x2(x-2)-16(x-2)=(x-2)(x2-16)=(x-2)·(x-4)(x+4).(x-2)(x-4)(x+4)6.已知a+b=3,a-b=-1,则a2-b2的值为.-3[解析]a2-b2=(a+b)(a-b)=3×(-1)=-3.7.分解因式(a-b)(a-4b)+ab的结果是.(a-2b)2[解析](a-b)(a-4b)+ab=a2-4ab-ab+4b2+ab=a2-4ab+4b2=(a-2b)2.8.把下列各式因式分解.(1)-8a2b+12ab2-4a3b3;(2)a3-4ab2.解:(1)-8a2b+12ab2-4a3b3=-4ab(2a-3b+a2b2).(2)a3-4ab2=a(a2-4b2)=a(a+2b)(a-2b).9.[2019·株洲]下列各选项中因式分解正确的是()A.x2-1=(x-1)2B.a3-2a2+a=a2(a-2)C.-2y2+4y=-2y(y+2)D.m2n-2mn+n=n(m-1)210.因式分解:a-a3=.【失分点】因式分解概念混淆;分解时易出现符号错误;因式分解不彻底.题组二易错题Da(1+a)(1-a)考向一因式分解的概念[解析]A选项:右边不是积的形式,错误;B选项:是多项式乘法,不是因式分解,错误;C选项:是平方差公式,x2-4=(x+2)(x-2),正确;D选项:结果不是整式的积,错误.故选C.C例1下列式子从左边到右边的变形是因式分解的是()A.x2-x-2=x(x-1)-2B.(a+b)(a-b)=a2-b2C.x2-4=(x+2)(x-2)D.x-1=x1-1𝑥精练1[2013·柳州]下列式子是因式分解的是()A.x(x-1)=x2-1B.x2-x=x(x+1)C.x2+x=x(x+1)D.x2-x=x(x+1)(x-1)C精练2下列四个多项式中,能分解因式的是()A.a2+1B.a2-6a+9C.x5+5yD.x2-5yB考向二提公因式法解:9(a-b)(a+b)-3(a-b)2=3(a-b)[3(a+b)-(a-b)]=3(a-b)(2a+4b)=6(a-b)(a+2b).例2分解因式:9(a-b)(a+b)-3(a-b)2.精练[2016·柳州]分解因式:x2+xy=.x(x+y)[解析]mx2-4m=m(x2-4)=m(x2-22)=m(x+2)(x-2).考向三公式法例3分解因式:mx2-4m=.m(x+2)(x-2)精练1[2018·鄂州]因式分解:3a2-12a+12=.精练2[2019·攀枝花]分解因式:a2b-b=.3(a-2)2b(a+1)(a-1)例4分解因式:x2+5x+6=.考向四十字相乘法(x+2)(x+3)精练已知x2+9x+m=(x+3)(x+6),则m=.18例5已知x-2y+4=0,xy=3,求6x2y-12xy2的值.考向五因式分解的应用解:∵x-2y+4=0,∴x-2y=-4,∴6x2y-12xy2=6xy(x-2y)=6×3×(-4)=-72.精练1计算:852-152=.7000精练2[2018·宁波]已知x,y满足方程组𝑥-2𝑦=5,𝑥+2𝑦=-3,则x2-4y2的值为.-15[解析]x2-4y2=(x-2y)(x+2y)=5×(-3)=-15.精练3[2018·菏泽]若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.[解析]∵a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=-3×22=-12.-12例6如图4-1,两个大小不同的正方形分别按图①②两种方式放置.已知AB=a,CD=b,求阴影部分的面积.解:设大正方形的边长为x,小正方形的边长为y,则S阴影=x2-y2=(x+y)(x-y)=ab.图4-1教材母题——人教版八上P125复习题14T7(2)分解因式:16x4-1.因式分解解:16x4-1=(4x2+1)(4x2-1)=(4x2+1)(2x+1)(2x-1).【方法点析】因式分解要分解到不能再分解为止.精练1分解因式:81a4-b4.精练2[2019·宜宾改编]分解因式:b2+c2+2bc-a2.解:81a4-b4=(9a2+b2)(9a2-b2)=(9a2+b2)(3a+b)(3a-b).解:原式=(b+c)2-a2=(b+c+a)(b+c-a).