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第三单元函数课时13反比例函数及其应用关键词反比例函数的概念反比例函数的图象和性质反比例函数解析式的确定考点聚焦考点一反比例函数的概念一般地,形如y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).x≠0考点二反比例函数的图象与性质一般形式k的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值k(续表)k的符号k②0k③0增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题原点减小增大考点三反比例函数比例系数k的几何意义1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.2.常见的与反比例函数有关的图形面积S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧⑨𝑆△𝐴𝑃𝑃1=|𝒌|𝟐|k|2|k|考点四反比例函数解析式的确定待定系数法几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式考点五反比例函数的实际应用常见反比例函数的实际应用类型及关系式:(1)行程问题:速度=路程时间.(2)销售问题:单价=总费用数量;单个利润=总利润数量.(3)物理问题:压强=压力受力面积,底面积=容积高度,电阻=电压电流.1.若y=(a+1)𝑥𝑎2-2是反比例函数,则a的值为()A.1B.-1C.±1D.任意实数对点演练题组一必会题A[解析]∵此函数是反比例函数,∴𝑎+1≠0,𝑎2-2=-1.解得a=1.故选A.2.在反比例函数y=𝑘-3𝑥的图象的每一支曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是()A.k3B.k0C.k3D.k0A[解析]∵在反比例函数y=𝑘-3𝑥的图象的每一支上,y都随x的增大而减小,∴k-30.解得k3.故选A.3.对于反比例函数y=2𝑥,下列说法不正确的是()A.点(-2,-1)在它的图象上B.它的图象在第一、三象限C.当x0时,y随x的增大而增大D.当x0时,y随x的增大而减小C[解析]根据反比例函数y=2𝑥的性质,对选项逐个判断.因为k=20,所以在每个象限内,y随x的增大而减小,选项C错误.故选C.4.若ab0,则正比例函数y=ax与反比例函数y=𝑏𝑥在同一坐标系内的大致图象可能是图13-1中的()图13-1B[解析]∵ab0,∴a,b异号.当a0,b0时,正比例函数y=ax的图象过原点且自左往右上升,反比例函数y=𝑏𝑥的图象位于第二、四象限;当a0,b0时,正比例函数y=ax的图象过原点且自左往右下降,反比例函数y=𝑏𝑥的图象位于第一、三象限.故选B.5.已知正比例函数y=-4x与反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象交于A,B两点.若点A的坐标为(x,4),则点B的坐标为.(1,-4)[解析]把(x,4)代入y=-4x,得-4x=4.解得x=-1.故点A的坐标为(-1,4).再根据点A,B关于原点对称,从而点B的坐标为(1,-4).6.写出反比例函数y=-6𝑥图象上一个点的坐标:.答案不唯一,如(-2,3)[解析]只要满足xy=-6即可.7.如图13-2,点A为反比例函数y=-4𝑥图象上一点,过A作AB⊥x轴于点B,连接OA,则△ABO的面积为.2图13-2[解析]根据反比例函数比例系数k的几何意义得△ABO的面积为12×|-4|=2.8.如图13-3,反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象与矩形ABCO的边相交于E,F两点,且BE=2AE,E(-1,2).(1)求反比例函数的解析式;(2)连接EF,求△BEF的面积.图13-3解:(1)∵反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象过点E(-1,2),∴k=-1×2=-2.∴反比例函数的解析式为y=-2𝑥.8.如图13-3,反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象与矩形ABCO的边相交于E,F两点,且BE=2AE,E(-1,2).(2)连接EF,求△BEF的面积.图13-3解:(2)∵E(-1,2),∴AE=1,OA=2.∴BE=2AE=2.∴AB=AE+BE=1+2=3.∴B(-3,2).将x=-3代入y=-2𝑥,得y=23.∴CF=23.∴BF=2-23=43.∴△BEF的面积=12BE·BF=12×2×43=43.9.若点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)在双曲线y=𝑘𝑥(k0)上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y3y2y1C.y2y1y3D.y3y1y2【失分点】进行反比例函数值的大小比较时,应注意在不同象限内不能应用反比例函数的增减性比较.题组二易错题D10.[2019·衡阳]如图13-4,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=𝑚𝑥(m为常数且m≠0)的图象,都经过A(-1,2),B(2,-1),结合图象,则不等式kx+b𝑚𝑥的解集是()A.x-1B.-1x0C.x-1或0x2D.-1x0或x2图13-4C考向一反比例函数的概念、图象与性质D[解析]本题考查了反比例函数的图象和性质,当x=1时,y=-3,故A正确;k=-30,所以图象位于第二、四象限,故B正确;反比例函数图象是轴对称图形,既关于直线y=x对称,也关于直线y=-x对称,故C正确;反比例函数的增减性前提条件是在同一象限内,故D不正确.因此本题选D.例1[2019·仙桃]对于反比例函数y=-3𝑥,下列说法不正确的是()A.图象经过点(1,-3)B.图象位于第二、四象限C.图象关于直线y=x对称D.y随x的增大而增大精练1[2019·柳州]反比例函数y=2𝑥的图象位于()A.第一、三象限B.第二、三象限C.第一、二象限D.第二、四象限A精练2[2018·柳州]已知反比例函数的解析式为y=|𝑎|-2𝑥,则a的取值范围是()A.a≠2B.a≠-2C.a≠±2D.a=±2[解析]根据反比例函数的定义,可知反比例函数的比例系数不能为0,故|a|-2≠0,解得:a≠±2.C精练3[2015·柳州]如图13-5所示图象中,是反比例函数y=-2𝑥的图象的是()图13-5C精练4反比例函数y=-5𝑥的图象上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).若x10x2,则下列结论正确的是()A.y1y20B.y10y2C.y1y20D.y10y2[解析]∵反比例函数y=-5𝑥中k=-50,∴此函数图象在第二、四象限.∵x10x2,∴点P1(x1,y1)在第二象限,点P2(x2,y2)在第四象限.∴y10y2.故选D.D精练5[2016·柳州]反比例函数y=2𝑥图象的每一支上,y随x的增大而(用“增大”或“减小”填空).减小例2如图13-6,等边三角形AOB的顶点A的坐标为(-4,0),顶点B在反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上,则k=.考向二比例系数k的几何意义图13-6-4𝟑[解析]过点B作x轴的垂线,再根据等边三角形的性质和k的几何意义求出答案.过点B作BD⊥AO于点D,所以D(-2,0).因为△AOB是等边三角形,所以∠OBD=30°.所以BD=23.所以B(-2,23).所以k=-2×23=-43.精练1[2019·北京]在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=𝑘1𝑥上.点A关于x轴的对称点B在双曲线y=𝑘2𝑥上,则k1+k2的值为.0精练2[2019·黄冈]如图13-7,一直线经过原点O,且与反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象相交于点A,点B,过点A作AC⊥y轴,垂足为C.连接BC.若△ABC的面积为8,则k=.图13-78[解析]因为反比例函数与正比例函数的图象相交于A,B两点,∴A,B两点关于原点对称,∴OA=OB,∴△BOC的面积=△AOC的面积=8÷2=4.又∵A是反比例函数y=𝑘𝑥的图象上的点,且AC⊥y轴于点C,∴△AOC的面积=12|k|,∴12|k|=4,∵k0,∴k=8.例3将油箱注满k升油后,轿车可行驶的总路程s(单位:千米)与平均耗油量a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系s=𝑘𝑎(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶,可行驶700千米.(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数关系式;(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?考向三反比例函数的应用解:(1)由题意,得a=0.1,s=700,代入反比例函数关系式s=𝑘𝑎,得k=sa=70.所以函数关系式为s=70𝑎.例3将油箱注满k升油后,轿车可行驶的总路程s(单位:千米)与平均耗油量a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系s=𝑘𝑎(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶,可行驶700千米.(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?解:(2)将a=0.08代入s=70𝑎,得s=875千米.故该轿车可以行驶875千米.精练1某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作.已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如下表所示:(1)观察表中数据,x,y满足什么函数关系?请求出这个函数关系式;(2)若商场计划每天该品牌运动鞋的销售利润为3000元,则其单价应定为多少元?第1天第2天第3天第4天售价x(元/双)150200250300销售量y(双)40302420解:(1)由表中数据得xy=6000,∴y=6000𝑥,∴y是x的反比例函数,函数关系式为y=6000𝑥.精练1某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作.已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如下表所示:(2)若商场计划每天该品牌运动鞋的销售利润为3000元,则其单价应定为多少元?第1天第2天第3天第4天售价x(元/双)150200250300销售量y(双)40302420解:(2)根据题意,得(x-120)y=3000,把y=6000𝑥代入得(x-120)·6000𝑥=3000,解得x=240.经检验,x=240是原方程的解且符合实际.答:若商场计划每天该品牌运动鞋的销售利润为3000元,则其单价应定为240元.精练2[2019·杭州]方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/时),且全程速度限定为不超过120千米/时.(1)求v关于t的函数表达式.(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地.求小汽车行驶速度v的范围;②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.解:(1)∵vt=480,且全程速度限定为不超过120千米/时,∴v关于t的函数表达式为:v=480𝑡(t≥4).精练2[2019·杭州]方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/时),且全程速度限定为不超过120千米/时.(2)方方上午8点驾驶小汽车从