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第二单元方程(组)与不等式(组)课时10一元一次不等式(组)及其应用关键词不等式的概念及基本性质一元一次不等式及其解法一元一次不等式组及其解法一元一次不等式的应用考点聚焦考点一不等式的有关概念1.不等式:用符号“”“”表示大小关系的式子,以及用“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式.2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值.3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.4.不等式组的解集:不等式组中所有不等式的解集的公共部分.5.一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是①的不等式,叫做一元一次不等式.1考点二不等式的性质性质1:如果ab,那么a±c②b±c;性质2:如果ab,c0,那么ac③bc,𝑎𝑐④𝑏𝑐;性质3:如果ab,c0,那么ac⑤bc,𝑎𝑐⑥𝑏𝑐.【温馨提示】(1)一定要注意不等式两边同乘(或除以)同一个负数时,要改变不等号的方向;(2)当不等式两边都乘(或除以)的式子中含有字母时,一定要对字母分类讨论.考点三一元一次不等式(组)的解法1.解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.2.一元一次不等式组的解法先分别求出不等式组中各个不等式的解集,并表示在同一个数轴上,再找出它们的公共部分,即得不等式组的解集.不等式组的解集情况类型(ab)在数轴上的表示解集口诀⑦同大取大⑧同小取小⑨大小小大中间找⑩大大小小没有解x≥a,x𝑏x≤a,x𝑏x≥a,x𝑏x≤a,x𝑏xbx≤aa≤xb无解考点四不等式的实际问题求解步骤:认真审题,找出题目中的不等关系,根据题目中的不等关系列出不等式,解不等式,检验作答.【温馨提示】列不等式解应用题时,应紧紧抓住“至多”→“≤”,“至少”→“≥”“不大于”→“≤”“不小于”→“≥”“不超过”→“≤”“大于”“小于”等关键词.1.[七下P117练习]设ab,用“”或“”填空:(1)a+2b+2;(2)a-3b-3;(3)-4a-4b;(4)𝑎2𝑏2.对点演练题组一必会题3.[七下P133复习题9第3(4)题]不等式组-3(𝑥-2)≥4-𝑥,1+2𝑥3𝑥-1的解集是.x≤1x≤𝟓𝟒2.[七下P124练习第1(4)题改编]不等式𝑥+16≥2𝑥-54+1的解集是.【失分点】注意不等式两边同时乘或除以一个负数时,不等号的方向要改变;在数轴上表示不等式的解集时,注意实心点与空心圈的区别;列不等式时未注意是“”(或“”)还是“≥”(或“≤”).题组二易错题D4.[2019·广安]若mn,则下列不等式不一定成立的是()A.m+3n+3B.-3m-3nC.𝑚3𝑛3D.m2n25.[2019·赤峰]不等式组𝑥+1≥2,9-𝑥2𝑥的解集在数轴上表示正确的是()C图10-16.为有效开展“阳光体育”活动,某校计划购买篮球和足球共50个,购买资金不超过3000元.若每个篮球80元,每个足球50元,则篮球最多可购买()A.16个B.17个C.33个D.34个A考向一不等式的性质例1如果ab,那么下列结论一定正确的是()A.a-3b-3B.3-a3-bC.-𝑎3-𝑏3D.-3a-3bC精练1若ab,则下列各式一定成立的是()A.a-1b-1B.𝑎3𝑏3C.-a-bD.acbc[解析]根据不等式的性质1,因为ab,所以a-1b-1,故A成立;根据不等式的性质2,不等式两边都除以3,得𝑎3𝑏3,故B不成立;根据不等式的性质3,不等式ab两边都除以-1,得-a-b,故C不成立;不等式ab两边都乘c,可能出现三种情况:当c0时,得acbc;当c=0时,得ac=bc;当c0时,得acbc,故D不一定成立.A精练2实数a,b在数轴上的对应点如图10-2所示,则下列不等式错误的是()A.ab0B.a-2b0C.1D.a-b0图10-2A考向二一元一次不等式的解法解:去分母得2(x-2)-5(x+4)-30,去括号得2x-4-5x-20-30,整理得-3x-6,解得x2.不等式的解集在数轴上表示为:例2[2019·攀枝花]解不等式𝑥-25−𝑥+42-3,并把它的解集在数轴上表示出来.图10-3精练1[2018·柳州]不等式x+1≥0的解集是.精练2[2013·柳州]不等式4x8的解集是.x≥-1x2例3(1)不等式组𝑥-120,1-2𝑥3的解集为.(2)不等式组𝑥-4≤1,𝑥+122的解集是.(3)不等式组𝑥-112,𝑥13的解集为.(4)不等式组3𝑥-12𝑥,-5𝑥≥0的解集是.考向三一元一次不等式组的解法3x≤5x𝟏𝟐无解x≤0精练[2016·柳州]不等式组𝑥1,𝑥≤2的解集在数轴上表示为图10-4中的()图10-4B考向四一元一次不等式的实际应用例4[2019·资阳]为了参加西部博览会,资阳市计划印制一批宣传册.该宣传册每本共10页,由A,B两种彩页构成.已知A种彩页制版费300元/张,B种彩页制版费200元/张,共计2400元.(注:彩页制版费与印数无关)(1)每本宣传册A,B两种彩页各有多少张?(2)据了解,A种彩页印刷费2.5元/张,B种彩页印刷费1.5元/张,这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元.如果按到资阳展台处的参观者人手一册发放宣传册,预计最多能发给多少位参观者?解:(1)设每本宣传册A,B两种彩页各有x张,y张,由题意得𝑥+𝑦=10,300𝑥+200𝑦=2400,解得𝑥=4,𝑦=6.答:每本宣传册A种彩页有4张,B种彩页有6张.例4[2019·资阳]为了参加西部博览会,资阳市计划印制一批宣传册.该宣传册每本共10页,由A,B两种彩页构成.已知A种彩页制版费300元/张,B种彩页制版费200元/张,共计2400元.(注:彩页制版费与印数无关)(2)据了解,A种彩页印刷费2.5元/张,B种彩页印刷费1.5元/张,这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元.如果按到资阳展台处的参观者人手一册发放宣传册,预计最多能发给多少位参观者?解:(2)设能发给a位参观者,可得:2.5×4a+1.5×6a+2400≤30900,解得a≤1500.答:预计最多能发给1500位参观者.精练1[2014·柳州]如图10-5,身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时,如果用一个不等式来表示他们的身高关系,则这个式子可以表示成xy.(用“”或“”填空)图10-5精练2[2017·柳州]学校要组织去春游,小陈用50元负责购买小组所需的两种食品,买第一种食品共花去了30元,剩余的钱还要买第二种食品.已知第二种食品的价格为6元/件,问:小陈最多能买第二种食品多少件?解:设第二种食品买x件.根据题意,得6x≤50-30.解得x≤103.所以第二种食品最多买3件.精练3[2017·百色]某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演,每班2个节目,有歌唱与舞蹈两类节目,经过统计后发现歌唱类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个.(1)九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个?(2)该校七、八年级师生只有小品节目参与,在歌唱、舞蹈、小品三类节目中,每个节目演出的平均用时分别为5分钟、6分钟、8分钟,预计所有演出节目交接用时共花15分钟.若从20:00开始,22:30之前演出结束,问参与的小品类节目最多有多少个?解:(1)设表演舞蹈类节目x个,则表演歌唱类节目(2x-4)个.根据题意,得x+(2x-4)=20.解得x=8.所以2x-4=12.答:九年级师生表演舞蹈类节目8个,表演歌唱类节目12个.精练3[2017·百色]某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演,每班2个节目,有歌唱与舞蹈两类节目,经过统计后发现歌唱类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个.(2)该校七、八年级师生只有小品节目参与,在歌唱、舞蹈、小品三类节目中,每个节目演出的平均用时分别为5分钟、6分钟、8分钟,预计所有演出节目交接用时共花15分钟.若从20:00开始,22:30之前演出结束,问参与的小品类节目最多有多少个?解:(2)设小品类节目有y个.根据题意,得12×5+6×8+8y≤135.解得y≤278.所以小品类节目最多有3个.教材母题——人教版七下P130习题9.3T6把一些书分给几名同学,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每名同学分5本,那么最后一人就分不到3本.这些书有多少本?共有多少人?不等式的应用解:设学生人数为x人,则这些书共有(3x+8)本.根据题意,得3𝑥+85𝑥-1,3𝑥+85𝑥-1+3.解得5x6.5.∵人数为正整数,∴有6名学生,则共有书3x+8=3×6+8=26(本).答:这些书有26本,共有6人.【方法点析】抓住关键语句:余8本和最后一人就分不到3本列出不等式组,答案要考虑实际情况.解:(1)y=20x+80(100-x)=8000-60x.精练某校欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个.(1)设购买排球数为x(个),购买两种球的总费用为y(元),请你写出y与x的函数关系式.(不要求写出自变量的取值范围)(2)如果购买两种球的总费用不超过6620元,并且篮球数不少于排球数的3倍,那么有哪几种购买方案?(3)从节约开支的角度来看,你认为采用哪种方案更合算?精练某校欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个.(2)如果购买两种球的总费用不超过6620元,并且篮球数不少于排球数的3倍,那么有哪几种购买方案?(2)设购买排球x个,则购买篮球的个数是(100-x)个.根据题意,得100-𝑥≥3𝑥,8000-60𝑥≤6620.解得23≤x≤25.∵x为整数,∴x取23,24,25.∴有三种购买方案:当买排球23个时,篮球的个数是77个;当买排球24个时,篮球的个数是76个;当买排球25个时,篮球的个数是75个.解:(3)∵y=8000-60x中,k=-600,∴y随x的增大而减小.又∵23≤x≤25,∴采用买排球25个,篮球75个时更合算.精练某校欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个.(3)从节约开支的角度来看,你认为采用哪种方案更合算?