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第二单元方程(组)与不等式(组)课时09一元二次方程及其应用关键词一元二次方程的概念一元二次方程的解法一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一元二次方程的应用考点聚焦考点一一元二次方程及其解法1.一般形式图9-12.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中ac0);(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法配方过程中,注意加上一个数的同时要减去这个数ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂(续表)方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂考点二一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个不相等两个相等没有-𝒃𝒂𝒄𝒂考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量(续表)应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=⑪(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x1.[九上P9练习第1题]填空:(1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2-12x+=(x-)2;(3)x2+5x+=(x+)2;(4)x2-23x+=(x-)2.对点演练题组一必会题255366𝟐𝟓𝟒𝟓𝟐𝟏𝟗𝟏𝟑2.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编](1)方程x2+10x+21=0的解是;(2)方程3x2+6x-4=0的解是;(3)方程3x(x+1)=3x+3的解是.x1=-3,x2=-7x1=-1,x2=1x1=-𝟑+𝟐𝟏𝟑,x2=-𝟑+𝟐𝟏𝟑3.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,共有个队参加比赛.10[解析]设参加比赛的球队共有x个.由题意得x(x-1)=90,(x-10)(x+9)=0,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).所以参加比赛的球队共有10个.4.[九上P26复习题21第10题改编]向阳村2010年的人均收入为12000元,2012年的人均收入为14520元,则人均收入的年平均增长率是.10%[解析]设年平均增长率为x,由题意得12000(1+x)2=14520,解得x1=-2.1(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.所以年平均增长率为10%.5.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的和与积:(1)x2-5x-10=0,x1+x2=,x1x2=;(2)2x2+7x+1=0,x1+x2=,x1x2=;(3)3x2-1=2x+5,x1+x2=,x1x2=;(4)x(x-1)=3x+7,x1+x2=,x1x2=.5-10-24-𝟕𝟐𝟏𝟐𝟐𝟑-7【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.题组二易错题x=1或x=26.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是.7.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.[解析]∵关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,∴a≠0,且22-4a(-3)0,解得a-13且a≠0.a-𝟏𝟑且a≠0考向一一元二次方程的定义和解法例1用指定的方法解方程:x2-4x+3=0.解法一(配方法):解法二(公式法):解法三(因式分解法):解:解法一(配方法):在方程左边加上一次项系数的一半的平方并减去这个数,得x2-4x+-422--422+3=0,即(x-2)2-1=0,(x-2)2=1.解得x1=1,x2=3.例1用指定的方法解方程:x2-4x+3=0.解法二(公式法):解:解法二(公式法):∵a=1,b=-4,c=3,b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4,∴x=4±42.解得x1=1,x2=3.例1用指定的方法解方程:x2-4x+3=0.解法三(因式分解法):解:解法三(因式分解法):原方程化为(x-1)(x-3)=0.所以x-1=0或x-3=0.解得x1=1,x2=3.精练1[2018·柳州]一元二次方程x2-9=0的解是.[解析]移项,得:x2=9,运用直接开平方法,解得:x1=3,x2=-3.x1=3,x2=-3精练2[2015·柳州]若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,则m的值为.-3精练3解下列方程:(1)[2019·安徽](x-1)2=4;(2)[2019·齐齐哈尔]x2+6x=-7;(3)[2019·常德]x2-3x-2=0.解:(1)∵(x-1)2=4,∴x-1=2或x-1=-2,∴x1=3,x2=-1.精练3解下列方程:(2)[2019·齐齐哈尔]x2+6x=-7;解:(2)∵x2+6x=-7,∴x2+6x+9=-7+9,∴(x+3)2=2,∴x+3=±2,∴x=-3±2,∴x1=-3+2,x2=-3-2.精练3解下列方程:(3)[2019·常德]x2-3x-2=0.解:(3)x2-3x-2=0,∵a=1,b=-3,c=-2,∴Δ=b2-4ac=17,∴x1=3+172,x2=3-172.考向二一元二次方程根的判别式的应用解：(5)m=1,则原方程为x2+3x=0,即x(x+3)=0,∴x1=0,x2=-3.(m取其他符合题意的值也可以)例2[2016·北京改编]已知关于x的一元二次方程mx2+(2m+1)x+m-1=0.(1)若方程没有实数根,则m的取值范围是;(2)若方程有两个相等实数根,则m=;(3)若方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是;(4)若方程有实数根,则m的取值范围是;(5)写出一个满足一元二次方程有两个不相等实数根条件的m的值,并求此时方程的根.m-𝟏𝟖-𝟏𝟖m-𝟏𝟖且m≠0m≥-𝟏𝟖且m≠0精练1[2017·常德]一元二次方程3x2-4x+1=0的根的情况是()A.没有实数根B.只有一个实数根C.两个相等的实数根D.两个不相等的实数根D[解析]∵Δ=(-4)2-4×3×1=40,∴方程有两个不相等的实数根.故选D.精练2[2018·菏泽]关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是()A.k≥0B.k≤0C.k0且k≠-1D.k≤0且k≠-1D考向三一元二次方程根与系数的关系例3已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根,则方程的另一个根x2=.1[解析]∵x1+x2=4,x1=3,∴x2=1.精练1[2013·柳州节选]判断命题真假:方程x2-(2+3)x+6=0的根是2和3.()√精练2[2017·怀化]若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1·x2的值是()A.2B.-2C.4D.-3D精练3[2018·江西]一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则𝑥12-4x1+2x1x2的值为.2[解析]∵x2-4x+2=0的两根为x1,x2,∴x1x2=2,𝑥12-4x1+2=0,即𝑥12-4x1=-2,∴𝑥12-4x1+2x1x2=-2+2×2=2.考向四一元二次方程的实际应用例4[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.例4[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?解:(2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.【方法点析】变化率问题牢记公式a(1+x)n=b,其中a表示增长(或降低)前的数据,x表示增长率(或降低率),n表示增长(或降低)的次数,b表示增长(或降低)后的数据.精练1王叔叔从市场上买一块长80cm,宽70cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图9-2,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为()A.(80-x)(70-x)=3000B.80×70-4x2=3000C.(80-2x)(70-2x)=3000D.80×70-4x2-(70+80)x=3000C图9-2精练2[2019·东营]为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:(x-100)[300+5(200-x)]=32000.整理得:(x-100)(1300-5x)=32000,即x2-360x+32400=0,解得x1=x2=180,x=180200,符合题意.答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.精练3[2019·南京]某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图9-3,原广场长50m,宽40m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用为每平方米100元.如果计划总费用为642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?图9-3解:设扩充后广场的长为3xm,宽为2xm,依题意得:3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000,解得x1=30,x2=-30(舍去).所以3x=90,2x=60.答:扩充后广场的长为90m,宽为60m.教材母题——人教版九上P21习题21.3T3一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.求两条直角边的长.一元二次方程的应用解:设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(14-x)cm.根据题意,得12x(14-x)=24.解得x1=6,x2=8.当x=6时,14-x=8;当x=8时,14-x=6.答:两条直角边的长分别为6cm,8cm.解:(1)设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为(10-x)cm.由题意,得x2+(10-x)2