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第二单元方程(组)与不等式(组)课时08分式方程及其应用关键词分式方程的概念分式方程的解法分式方程的应用考点聚焦考点一分式方程的定义分母中含有①的方程叫做分式方程.未知数考点二分式方程的解法(1)能因式分解的,先因式分解.(2)方程两边同乘最简公分母,化为整式方程.(3)解整式方程.(4)检验(将整式方程的解代入②,若最简公分母的值不为③,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,这个解也叫④).最简公分母0增根1.一般步骤考点三分式方程的实际应用图8-12.双检验:(1)检验求出的解是否为原分式方程的解;(2)检验是否符合变量的实际意义.3.常见类型及关系式行程问题:路程速度=时间工程问题:工作总量工作效率=工作完成时间销售问题:总价单价=数量,总价数量=单价1.在下列方程中,关于x的分式方程有()①12x2-23x+4=0;②𝑥𝑎=4;③𝑎𝑥=4;④𝑥2-9𝑥+3=1;⑤1𝑥+2=6;⑥𝑥-1𝑎+𝑥+1𝑎=2.A.2个B.3个C.4个D.5个对点演练题组一必会题B2.方程3𝑥=2𝑥-2的解是()A.x=2B.x=6C.x=-6D.x=3B3.解分式方程2𝑥-1+𝑥+21-𝑥=3时,去分母后变形正确的为()A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3D.2-(x+2)=3(x-1)D4.赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完.当他读了一半时,发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页,那么下面所列方程中,正确的是()A.140𝑥+140𝑥-21=14B.280𝑥+280𝑥+21=14C.140𝑥+140𝑥+21=14D.10𝑥+10𝑥+21=1C5.若代数式1𝑥-2和32𝑥+1的值相等,则x=.76.解方程:[八上P152练习](1)12𝑥=2𝑥+3;(2)𝑥𝑥+1=2𝑥3𝑥+3+1;(3)2𝑥-1=4𝑥2-1.解:(1)方程两边同乘2x(x+3),得x+3=4x.解得x=1.检验:将x=1代入2x(x+3)得2x(x+3)=2×1×(1+3)≠0,∴x=1是原分式方程的解.6.解方程:[八上P152练习](2)𝑥𝑥+1=2𝑥3𝑥+3+1;解:(2)方程两边同乘3(x+1),得3x=2x+3x+3.解得x=-32.检验:当x=-32时,3(x+1)=3×-32+1≠0.∴原分式方程的解为x=-32.6.解方程:[八上P152练习](3)2𝑥-1=4𝑥2-1.解:(3)方程两边同乘(x-1)(x+1),得2(x+1)=4.解得x=1.检验:把x=1代入(x-1)(x+1)=0,∴x=1是方程的增根,∴原分式方程无解.7.[八上P159复习题15第8题]某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产多少台机器?解:设现在平均每天生产x台机器,则原计划平均每天生产(x-50)台.依题意得600𝑥=450𝑥-50,解得x=200.检验:当x=200时,x(x-50)≠0.∴x=200是原分式方程的解且符合题意.答:现在平均每天生产200台机器.8.[八上P154练习第1题]八年级学生去距学校10km的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度.解:设骑车学生的速度是xkm/h,则汽车的速度是2xkm/h.由题意得10𝑥−102𝑥=13,解得x=15.经检验,x=15是所列方程的解,且符合实际意义.答:骑车学生的速度是15km/h.9.分式方程𝑥𝑥-1-1=3(𝑥-1)(𝑥+2)的解是()A.x=1B.x=-2C.x=3D.无解【失分点】解分式方程忽略检验.题组二易错题D[解析]去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.去括号,得x2+2x-x2-x+2=3.解得x=1.经检验,x=1是增根,原分式方程无解.例1方程4𝑥-12𝑥-2=3的解是x=.考向一分式方程的解法6[解析]去分母,得4x-12=3x-6.解得x=6.经检验,x=6是原分式方程的解.精练1[2016·柳州]分式方程1𝑥=2𝑥-2的解为()A.x=2B.x=-2C.x=-23D.x=23B精练2[2014·柳州]方程2𝑥-1=0的解是x=.2精练3[2018·柳州]解方程:2𝑥=1𝑥-2.解:去分母,得:2(x-2)=x,去括号,移项,合并同类项,得:x=4.检验:当x=4时,x(x-2)=4×2=8≠0,故x=4是原分式方程的根例2若关于x的分式方程𝑚-1𝑥-1=2的解为非负数,则m的取值范围是()A.m-1B.m≥-1C.m-1且m≠1D.m≥-1且m≠1考向二分式方程解的正负问题D[解析]方程两边都乘(x-1),得m-1=2(x-1).∴x=𝑚+12.∵x为非负数,∴𝑚+12≥0,解得m≥-1.又∵x-1≠0,即𝑚+12≠1,∴m≠1.∴m≥-1且m≠1.故选D.精练若关于x的分式方程3𝑥-𝑚𝑥-1=2的解是负数,则m的取值范围是()A.m2B.m2C.m-2D.m-2B考向三分式方程的应用例3[2018·吉林]如图8-2是学习分式方程的应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.根据以上信息,解答下列问题.(1)冰冰同学所列方程中的x表示,庆庆同学所列方程中的y表示;(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系;(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.图8-2解:(1)∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程,∴x表示甲队每天修路的长度;∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程,∴y表示甲队修路400米(乙队修路600米)所需的时间.故答案为:甲队每天修路的长度甲队修路400米(乙队修路600米)所需的时间例3[2018·吉林]如图8-2是学习分式方程的应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.根据以上信息,解答下列问题.(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系;图8-2解:(2)冰冰用的等量关系是:甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间;庆庆用的等量关系是:乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米.(选择一个即可)例3[2018·吉林]如图8-2是学习分式方程的应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.根据以上信息,解答下列问题.(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.图8-2解:(3)选冰冰所列的方程:400𝑥=600𝑥+20,去分母,得:400x+8000=600x,移项,x的系数化为1,得:x=40,检验:当x=40时,x,x+20均不为零,∴x=40是分式方程的根.答:甲队每天修路的长度为40米.选庆庆所列的方程:600𝑦−400𝑦=20,去分母,得:600-400=20y,将y的系数化为1,得:y=10,检验:当y=10时,分母y不为0,∴y=10是分式方程的根,∴400𝑦=40.答:甲队每天修路的长度为40米.精练1[2019·柳州]小张去文具店购买作业本,作业本有大、小两种规格,大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元,已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同.(1)求大本作业本与小本作业本每本各多少元?(2)因作业需要,小张要再购买一些作业本,购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍,总费用不超过15元.则大本作业本最多能购买多少本?解:(1)设小本作业本每本x元,则大本作业本每本(x+0.3)元,依题意,得:8𝑥+0.3=5𝑥,解得:x=0.5,经检验,x=0.5是原方程的解,且符合题意,∴x+0.3=0.8.答:大本作业本每本0.8元,小本作业本每本0.5元.精练1[2019·柳州]小张去文具店购买作业本,作业本有大、小两种规格,大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元,已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同.(2)因作业需要,小张要再购买一些作业本,购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍,总费用不超过15元.则大本作业本最多能购买多少本?解:(2)设大本作业本购买m本,则小本作业本购买2m本,依题意,得:0.8m+0.5×2m≤15,解得:m≤253.∵m为正整数,∴m的最大值为8.答:大本作业本最多能购买8本.精练2[2019·菏泽]列方程(组)解应用题:德上高速公路巨野至单县段正在加速建设,预计2019年8月竣工.届时,如果汽车行驶在高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%,那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟,求该汽车在高速公路上的平均速度.解:设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/时,则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/时,由题意,得811.8𝑥+3660=81𝑥.解得x=60.经检验,x=60是所列方程的根,且符合题意.所以1.8x=108.答:汽车在高速公路上的平均速度是108千米/时.教材母题——人教版八上P158复习题15T7什么情况下,2(x+1)-1与3(x-2)-1的值相等?解分式方程解:令2(x+1)-1=3(x-2)-1,可变形为2𝑥+1=3𝑥-2.解此分式方程,得x=-7.经检验,x=-7是原分式方程的解.故当x=-7时,2(x+1)-1与3(x-2)-1的值相等.精练若关于x的方程x2+2x-3=0与2𝑥+3=1𝑥-𝑎有一个解相同,则a的值为()A.1B.1或-3C.-1D.-1或3C[解析]解方程x2+2x-3=0,得x1=1,x2=-3.∵x=-3是方程2𝑥+3=1𝑥-𝑎的增根,∴将x=1代入方程2𝑥+3=1𝑥-𝑎,得21+3=11-𝑎.解得a=-1.故选C.