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第二单元方程(组)与不等式(组)课时07一次方程(组)及其应用关键词一元一次方程及其解法二元一次方程(组)及其解法一次方程(组)的应用考点聚焦考点一等式的概念及性质如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,那么ac=bc(c≠0)等式的概念表示相等关系的式子,叫做等式等式的性质性质1如果a=b,那么a±c=b±c性质2考点二一元一次方程的定义及解法1.一元一次方程:只含有①个未知数(元),未知数的次数都是②,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.一元一次方程的标准形式是ax+b=0(其中x是未知数,a,b是已知数,且a≠0).一12.解一元一次方程的步骤:常用步骤具体做法注意事项去分母在方程两边都乘各分母的最小公倍数防止漏乘(尤其是常数项),注意添括号去括号一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号注意变号,防止漏乘移项把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边移项要变号,不移不变号(续表)常用步骤具体做法注意事项合并同类项把方程化成ax=b(a≠0)的形式计算要仔细,不要出差错系数化为1计算要仔细,分子、分母勿颠倒在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=ba1.二元一次方程:含有③个未知数,并且含有未知数的项的次数都是④,这样的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解.4.二元一次方程组的解法:①代入消元法;②加减消元法.考点三二元一次方程(组)的定义及解法3.二元一次方程组的一般形式:𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1=0,𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2=0,其解一般写成𝑥=𝑚,𝑦=𝑛的形式.两1考点四一次方程(组)的实际应用图7-1【温馨提示】设未知数列方程(组)是关键,求解时注意两点:(1)设适当的未知数;(2)题中各个量的单位.对点演练题组一必会题D1.方程2x-1=3的解是x=()A.-1B.-2C.1D.2[解析]由方程2x-1=3,得2x=4,解得x=2.故选D.2.下列方程组中,是二元一次方程组的是()A.𝑥+𝑦=4,2𝑥+3𝑦=7B.2𝑎-3𝑏=11,5𝑏-4𝑐=6C.𝑥2=9,𝑦=2𝑥D.𝑥+𝑦=8,𝑥-𝑧=4AB3.二元一次方程5a-7b=3()A.有且只有一解B.有无数解C.无解D.有且只有两解4.已知x=2是关于x的方程2x-m=1的解,则m的值是()A.-3B.3C.2D.7B5.植树节这天,有20名同学共种了52棵树苗,其中男生每人种树3棵,女生每人种树2棵.设男生有x人,女生有y人,下面所列方程组正确的是()A.𝑥+𝑦=52,3𝑥+2𝑦=20B.𝑥+𝑦=52,2𝑥+3𝑦=20C.𝑥+𝑦=20,2𝑥+3𝑦=52D.𝑥+𝑦=20,3𝑥+2𝑦=52D[解析]根据题意,男生有x人,女生有y人.由“有20名同学”,得x+y=20;由“共种了52棵树苗”,得3x+2y=52.故选D.6.解方程:2(x+3)=x+5.解:去括号,得2x+6=x+5.移项,得2x-x=5-6.合并同类项,得x=-1.7.解方程组:2𝑥+𝑦=5,𝑥-𝑦=4.解:2𝑥+𝑦=5,①𝑥-𝑦=4.②由①+②,得3x=9.解得x=3.把x=3代入②,得y=-1.∴原方程组的解为𝑥=3,𝑦=-1.【失分点】对等式性质理解不透致错;对一次方程的定义理解不透彻;在解方程过程中对常数项漏乘.题组二易错题A8.若(m-2)x|m|-1-5=0是关于x的一元一次方程,则m的值为()A.-2B.2C.±2D.无法确定9.下列变形不一定正确的是()A.若x=y,则x+5=y+5B.若a=b,则ac=bcC.若x=y,则𝑥𝑎=𝑦𝑎D.若𝑎𝑐=𝑏𝑐(c≠0),则a=bC10.解方程𝑥-13+x=3𝑥+12时两边同乘6,去分母后,正确的是()A.2x-1+6x=3(3x+1)B.2(x-1)+x=3(3x+1)C.2(x-1)+6x=3(3x+1)D.(x-1)+x=3(3x+1)C例1下列变形中,正确的是()A.若5x-6=7,则5x=7-6B.若-3x=5,则x=-35C.若𝑥-13+𝑥+12=1,则2(x-1)+3(x+1)=1D.若-13x=1,则x=-3考向一等式的性质D[解析]A.若5x-6=7,则5x=7+6,故此选项错误;B.若-3x=5,则x=-53,故此选项错误;C.若𝑥-13+𝑥+12=1,则2(x-1)+3(x+1)=6,故此选项错误;D.若-13x=1,则x=-3,此选项正确.故选D.例2已知方程x+5=12(x+3),求未知数x的值.考向二一元一次方程的解法解:去分母,得2(x+5)=x+3.去括号,得2x+10=x+3.移项、合并同类项,得x=-7.【方法点析】在去分母时,注意两点:(1)不要漏乘不含分母的项;(2)对分子添括号.精练1[2017·柳州]解方程:2x-7=0.解:移项,得2x=7,系数化为1,得x=72.精练2已知x=2是关于x的方程a(x+1)=12a+x的解,则a的值是.[解析]把x=2代入方程a(x+1)=12a+x,得3a=12a+2.解得a=45.𝟒𝟓例3用指定方法解方程组:𝑥-2𝑦=-4,3𝑥+4𝑦=18.(1)代入法:(2)加减法:考向三二元一次方程组的解法解:𝑥-2𝑦=-4,①3𝑥+4𝑦=18.②(1)由①得x=2y-4,③把③代入②,得3(2y-4)+4y=18,解得y=3.把y=3代入③,得x=2,则方程组的解为𝑥=2,𝑦=3.例3用指定方法解方程组:𝑥-2𝑦=-4,3𝑥+4𝑦=18.(2)加减法:解:𝑥-2𝑦=-4,①3𝑥+4𝑦=18.②(2)①×2得:2x-4y=-8,③②+③得:5x=10,解得x=2,把x=2代入①,得2-2y=-4,解得y=3,所以方程组的解为𝑥=2,𝑦=3.【方法点析】(1)当方程组中一个未知数的系数为1(或-1)或一个方程的常数项为0时,用代入法较方便;(2)当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法较方便.精练1[2019·苏州]若a+2b=8,3a+4b=18,则a+b的值为.[解析]解方程组𝑎+2𝑏=8,①3𝑎+4𝑏=18,②由①得a=8-2b,③将③代入②,解得b=3,把b=3代入③,得a=2,所以𝑎=2,𝑏=3,故a+b=5.故答案为5.5精练2[2019·金华]解方程组:3𝑥-4(𝑥-2𝑦)=5,𝑥-2𝑦=1.解:3𝑥-4(𝑥-2𝑦)=5,①𝑥-2𝑦=1.②由①得,-x+8y=5,③②+③,得6y=6,解得y=1.把y=1代入②,得x-2×1=1,解得x=3.∴原方程组的解为𝑥=3,𝑦=1.精练3[2018·嘉兴]用消元法解方程组𝑥-3𝑦=5,①4𝑥-3𝑦=2②时,两位同学的解法如下:解法一:由①-②,得3x=3.解法二:由②,得3x+(x-3y)=2,③把①代入③,得3x+5=2.(1)反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“×”.(2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.解:(1)解法一中的计算有误(标记略).精练3[2018·嘉兴]用消元法解方程组𝑥-3𝑦=5,①4𝑥-3𝑦=2②时,两位同学的解法如下:解法一:由①-②,得3x=3.解法二:由②,得3x+(x-3y)=2,③把①代入③,得3x+5=2.(2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.解:(2)由①-②,得-3x=3,解得x=-1,把x=-1代入①,得-1-3y=5,解得y=-2.所以原方程组的解是𝑥=-1,𝑦=-2.考向四一次方程(组)的应用例4[2014·柳州]小张把两个大小不同的苹果放到天平上称,当天平保持平衡时的砝码质量如图7-2所示.问:这两个苹果的质量分别为多少克?图7-2解:设大苹果的质量为xg,小苹果的质量为yg.由题意,得𝑥=𝑦+50,𝑥+𝑦=300+50.解得𝑥=200,𝑦=150.答:大苹果的质量为200g,小苹果的质量为150g.精练1[2018·柳州]篮球比赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,艾美所在的球队在8场比赛中得14分.若设艾美所在的球队胜x场,负y场,则可列出方程组为.[解析]由胜场与负场的总场数为8列方程为x+y=8;由8场比赛所得总分为14列方程为2x+y=14.将两个方程联立成方程组即可.𝒙+𝒚=𝟖,𝟐𝒙+𝒚=𝟏𝟒精练2[2016·柳州]小陈妈妈做儿童服装生意,在“六一”上午的销售中,某规格童装每件以60元的价格卖出,盈利20%,求这种规格的童装每件的进价.解:设这种规格的童装每件进价为x元.依题意,得60-x=20%x.解得x=50.答:这种规格的童装每件进价为50元.精练3[2015·柳州]如图7-3,小黄和小陈观察蜗牛爬行,蜗牛在以A为起点沿直线匀速爬向B点的过程中,到达C点时用了6分钟,那么还需要多长时间才能到达B点?图7-3解:设蜗牛还需要x分钟到达B点,则63=𝑥2.解得x=4.答:蜗牛还需要4分钟到达B点.精练4[2019·陇南]小甘到文具超市去买文具.请你根据如图7-4中的对话信息,求中性笔和笔记本的单价分别是多少元.图7-4解:设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元,根据题意可得:12𝑦+20𝑥=112,12𝑥+20𝑦=144,解得:𝑥=2,𝑦=6,答:中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元.教材母题——人教版七上P112复习题3第10题改编一家游泳馆每年6~8月出售夏季会员证,每张会员证80元,只限本人使用,凭证购入场券每张1元,不凭证购入场券每张3元.试讨论并回答:(1)当时,购会员证与不购证付一样的钱;(2)当时,购会员证比不购证合算;(3)当时,不购会员证比购证合算.一次方程(组)的应用游泳次数为40次游泳次数多于40次游泳次数少于40次【方法点析】用方程或方程组解决实际问题的关键是找出题中存在的等量关系列出方程;找等量关系时,要抓住关键词语,如多、少、共、几分之几、倍等.设未知数时,可采取直接设元,也可以采取间接设元.精练数学文化[2019·福建]《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问君每日读多少?”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34685个字,设他第一天读x个字,则下面所列方程正确的是()A.x+2x+4x=34685B.x+2x+3x=34685C.x+2x+2x=34685D.x+12x+14x=34685A[解析]若他第一天读x个字,则第二天读2x个字,第三天读4x个字,由题意可列方程x+2x+4x=34685.