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第五单元四边形课时21平行四边形关键词平行四边形的性质平行四边形的判定高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点聚焦考点一平行四边形的性质以及判定1.性质(1)平行四边形的两组对边分别①;(2)平行四边形的对角②,邻角③;(3)平行四边形的对角线④;(4)平行四边形是⑤对称图形.平行且相等相等互补互相平分中心高频考向探究考题回归教材基础知识巩固2.判定方法(1)定义:⑥的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别⑦的四边形是平行四边形;(3)一组对边⑧的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别⑨的四边形是平行四边形;(5)对角线⑩的四边形是平行四边形.两组对边分别平行相等平行且相等相等互相平分高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点二平行四边形的面积平行四边形的面积=⑪×⑫.底高高频考向探究考题回归教材基础知识巩固对点演练题组一必会题1.[2019·泸州]四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列四组条件中,一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A.AD∥BCB.OA=OC,OB=ODC.AD∥BC,AB=DCD.AC⊥BDB高频考向探究考题回归教材基础知识巩固2.▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是()A.10B.14C.20D.22B高频考向探究考题回归教材基础知识巩固3.已知▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是()A.100°B.160°C.80°D.60°C[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD∥BC.∵∠A+∠C=200°,∴∠A=100°.∴∠B=180°-∠A=80°.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.在平行四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是()A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶1∶2C.1∶1∶2∶2D.1∶2∶2∶1B[解析]根据平行四边形的对角相等即可判断.因为平行四边形的对角相等,所以对角的比值数应该相等,其中A,C,D都不满足,只有B满足.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固5.如图21-1,在▱ABCD中,CE⊥AB,垂足为E,如果∠A=115°,那么∠BCE等于()A.65°B.25°C.30°D.15°B[解析]由平行四边形的性质得出邻角互补,求出∠B,再由角的互余关系求出∠BCE即可.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠A+∠B=180°.∴∠B=180°-115°=65°.∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°.∴∠BCE=90°-∠B=90°-65°=25°.图21-1高频考向探究考题回归教材基础知识巩固6.如图21-2,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,DE∥BC,EF∥AB.若AB=8,BD=3,BF=4,则FC的长为.2.4图21-2高频考向探究考题回归教材基础知识巩固7.如图21-3,E是▱ABCD的边AD的中点,连接CE并延长,交BA的延长线于F.若CD=6,则BF的长为.12[解析]∵E是▱ABCD的边AD的中点,∴AE=DE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=6,AB∥CD.∴∠F=∠DCE.在△AEF和△DEC中,∠𝐹=∠𝐷𝐶𝐸,∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐷𝐸𝐶,𝐴𝐸=𝐷𝐸,∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF=CD=6.∴BF=AB+AF=12.图21-3高频考向探究考题回归教材基础知识巩固【失分点】由一组对边平行而另一组对边相等不能判定四边形为平行四边形;忽视平行四边形中对角线与边的关系.题组二易错题8.[2018·玉林]在四边形ABCD中:①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有()A.3种B.4种C.5种D.6种B高频考向探究考题回归教材基础知识巩固[解析]平行四边形判定一:两组对边分别平行的四边形是平行四边形:①②;平行四边形判定二:两组对边分别相等的四边形是平行四边形:③④;平行四边形判定三:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形:①③或②④.共有4种选法,故选B.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固9.[2018·安徽]▱ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是()A.BE=DFB.AE=CFC.AF∥CED.∠BAE=∠DCFB高频考向探究考题回归教材基础知识巩固[解析]连接AC,与BD相交于O,根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC,OB=OD,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,只要证明得到OE=OF即可,然后根据各选项的条件分析判断即可得解.如图,连接AC,与BD相交于O,在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,要使四边形AECF为平行四边形,只需证明得到OE=OF即可.A.若BE=DF,则OB-BE=OD-DF,即OE=OF,故本选项不符合题意;B.若AE=CF,无法判断OE=OF,故本选项符合题意;高频考向探究考题回归教材基础知识巩固C.由AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等,从而得到OE=OF,故本选项不符合题意;D.由∠BAE=∠DCF能够利用“角边角”证明△ABE和△CDF全等,从而得到DF=BE,然后同A,故本选项不符合题意.故选B.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向一平行四边形的性质例1[2019·达州]如图21-4,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为.16图21-4[解析]O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,点E是AB的中点,可得OE=12AD,BE=12AB,BO=12BD,可得△BEO的周长是△BAD周长的一半,而△BCD的周长和△BAD周长相等,即△BCD的周长为16.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1[2016·柳州]如图21-5,若平行四边形ABCD的面积为20cm2,BC=5cm,则AD与BC间的距离为.图21-54cm高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2017·柳州]如图21-6,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,求这个平行四边形ABCD的周长.图21-6解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,BC=AD.∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(3+4)=14.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3[2019·荆门]如图21-7,已知平行四边形ABCD中,AB=5,BC=3,AC=213.(1)求平行四边形ABCD的面积;(2)求证:BD⊥BC.图21-7解:(1)作CE⊥AB交AB的延长线于点E,如图.设BE=x,CE=h,在Rt△CEB中,x2+h2=9①,在Rt△CEA中,(5+x)2+h2=52②,联立①②解得:x=95,h=125,∴平行四边形ABCD的面积=AB·h=12.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3[2019·荆门]如图21-7,已知平行四边形ABCD中,AB=5,BC=3,AC=213.(2)求证:BD⊥BC.图21-7高频考向探究基础知识巩固考题回归教材(2)证明:作DF⊥AB,垂足为F,∴∠DFA=∠CEB=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAF=∠CBE.又∵∠DFA=∠CEB=90°,∴△ADF≌△BCE(AAS),∴AF=BE=95,BF=5-95=165,DF=CE=125,在Rt△DFB中,BD2=DF2+BF2=1252+1652=16,∴BD=4.∵BC=3,DC=5,∴CD2=DB2+BC2,∴BD⊥BC.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向二平行四边形的判定例2如图21-8,延长▱ABCD的边AD到点F,使DF=DC,延长CB到点E,使BE=BA,连接AE和CF.求证:AE=CF.图21-8证明:在▱ABCD中,AB=CD,∵AB=BE,CD=DF,∴BE=DF.∵AD=BC,∴AF=EC.又∵AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形.∴AE=CF.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材【方法点析】平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1[2019·威海]如图21-9,E是▱ABCD的边AD延长线上一点,连接BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判定四边形BCED为平行四边形的是()A.∠ABD=∠DCEB.DF=CFC.∠AEB=∠BCDD.∠AEC=∠CBD图21-9C高频考向探究基础知识巩固考题回归教材[解析]根据平行四边形的性质,得AD∥BC,AB∥CD,所以DE∥BC,所以∠ABD=∠CDB,若添加∠ABD=∠DCE,可得∠CDB=∠DCE,从而可得BD∥CE,所以四边形BCED为平行四边形,故A正确;根据平行线的性质,得∠DEF=∠CBF,若添加DF=CF,由于∠EFD=∠BFC,故△DEF≌△CBF,从而EF=BF,根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,得四边形BCED为平行四边形,故B正确;根据平行线的性质,得∠AEB=∠CBF,若添加∠AEB=∠BCD,易得∠CBF=∠BCD,求得CF=BF,同理,EF=DF,不能判定四边形BCED为平行四边形,故C错误;根据平行线的性质,得∠DEC+∠BCE=180°,若添加∠AEC=∠CBD,可得∠BCE+∠CBD=180°,所以BD∥EC,于是得四边形BCED为平行四边形,故D正确.故选C.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2019·柳州]平行四边形的其中一个判定定理是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.请你证明这个判定定理.已知:如图21-10,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:图21-10高频考向探究基础知识巩固考题回归教材证明:连接AC,如图所示:在△ABC和△CDA中,𝐴𝐵=𝐶𝐷,𝐶𝐵=𝐴𝐷,𝐴𝐶=𝐶𝐴,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD,∴AB∥CD,BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.解:已知:如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:∵OA=OC,OD=OB,∠AOD=∠COB,∴△AOD≌△COB,∴∠OAD=∠OCB,∴AD∥BC.同理AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练4证明:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.解:已知:如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.求证:DE∥BC,且DE=12BC.证明:如图,延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.∵AE=EC,DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形,∴CF�DA.∴CF�BD.∴四边形DBCF是平行四边形,∴DF�BC.又DE=12DF,∴DE∥BC,且DE=12BC.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材教材母题——人教版八下P51习题18.1T14如图21-11,用硬纸板剪一个平行四边形,作出它的对角线的交点O,用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处,并使细木条可以绕点O转动.拨动细木条,使它随意停留在任意位置.观察几次拨动的结果,你发现了什么?证明你的发现.平行四边形的中心作用大图21-11高频考向探究基础知识巩固考题回归教材解:答案不唯一,如细木条所在的直线始终将平行四边形分成两个形状、大小都相同的图形,也就是两个全等的图形.这个证明需要用到平行四边形的性质以及证明三角形全等的几个方法.(1)如果这条直线与对角线重合,也就是通过点A,C或者通过点B,D,利用“平行四边形的对角线将平行四边形分为两个全等三角形”的性质就