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第四单元三角形课时19等腰三角形关键词等腰三角形的性质及判定等边三角形的性质及判定线段的垂直平分线高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点聚焦考点一等腰三角形的性质定理及推论定理:等腰三角形的两个底角相等,简称:①.推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.简称②.推论2:等边三角形的各个内角都相等,并且每个角都等于③.等边对等角三线合一60°高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点二等腰三角形的判定定理定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.考点三等边三角形的判定推论1:三个角都相等的三角形是④.推论2:有一个角是60°的⑤三角形是等边三角形.等边三角形等腰高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点四线段垂直平分线的性质定理及其逆定理⑥于一条线段并且⑦这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段⑧__________的距离⑨.逆定理:到一条线段两个端点的⑩的点,在这条线段的垂直平分线上.垂直平分两个端点相等距离相等高频考向探究考题回归教材基础知识巩固对点演练题组一必会题1.如图19-1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点.下列结论不正确的是()A.∠B=∠CB.AD⊥BCC.AD平分∠BACD.AB=2BDD图19-1高频考向探究考题回归教材基础知识巩固2.如图19-2,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为()A.35°B.40°C.45°D.50°A图19-2[解析]∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=70°.∵AD=DC,∴∠DAC=∠C,∵∠ADB=∠DAC+∠C=70°.∴∠C=12∠ADB=35°.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固3.下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有()A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④D[解析]根据等边三角形的判定判断.①两个角为60°,则第三个角也是60°,其是等边三角形,故正确;②这是等边三角形的判定推论,故正确;③三个外角相等,则三个内角相等,其是等边三角形,故正确;④根据等腰三角形三线合一的性质,可得腰长等于底边长,则三边相等,故正确.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.如图19-3所示,△ABC是等边三角形,且BD=CE,∠1=15°,则∠2的度数为()A.15°B.30°C.45°D.60°D图19-3高频考向探究考题回归教材基础知识巩固5.[2019·黔三州]如图19-4,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为.34°图19-4[解析]根据题意可得BA=BD.∵∠B=40°,∴∠BAD=∠BDA=70°.∵∠B=40°,∠C=36°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°,∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°.故答案为34°.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固6.等腰三角形ABC的底角为72°,腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E,垂足为D,连接BE,则∠EBC的度数为.36°[解析]如图,∵等腰三角形ABC的底角为72°,∴∠A=180°-72°×2=36°.∵AB的垂直平分线DE交AC于点E,∴AE=BE.∴∠ABE=∠A=36°.∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°.故答案为36°.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固【失分点】当腰与底、顶角与底角不确定时,忽视分类讨论;分类讨论时忘记三角形三边关系;不能正确添加辅助线.题组二易错题7.若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为()A.2cmB.4cmC.6cmD.2cm或6cmA高频考向探究考题回归教材基础知识巩固[解析](1)若底边长为2cm,则腰长为(10-2)÷2=4cm,4+24,符合三角形的三边关系定理,所以该等腰三角形的底边长为2cm;(2)若腰长为2cm,则底边长为10-2×2=6cm,2+26,不符合三角形的三边关系定理,所以该等腰三角形的底边长为6cm舍去.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固8.若等腰三角形的一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角可能为()A.50°B.65°C.80°D.50°或80°D[解析]当50°角为等腰三角形的顶角时,此时等腰三角形的顶角为50°;当50°角为等腰三角形的底角时,此时等腰三角形的顶角为180°-50°×2=80°.综上,等腰三角形的顶角为50°或80°.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固9.[2019·齐齐哈尔]等腰三角形ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD=12AC,则等腰三角形ABC的底角的度数为.15°或45°或75°高频考向探究考题回归教材基础知识巩固[解析]分情况讨论:(1)当∠B为顶角时,△ABC为等腰直角三角形,如图①,底角为45°;(2)当∠B为底角时,若∠BAC为锐角,如图②,BD=12AB,∴∠BAC=30°,则∠B=75°;(3)当∠B为底角时,若∠BAC为钝角,如图③,BD=12AB,∴∠BAD=30°,∠BAC=150°,则∠B=15°.所以△ABC的底角度数为45°或75°或15°.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向一等腰三角形的性质例1[2016·柳州]求证:等腰三角形的两个底角相等.(请根据图19-5,用符号表示已知和求证,并写出证明过程)已知:求证:证明:图19-5高频考向探究基础知识巩固考题回归教材解:已知:如图,在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C.证法一:过点A作AD⊥BC,垂足为D,则∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中,𝐴𝐵=𝐴𝐶,𝐴𝐷=𝐴𝐷,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠B=∠C.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材证法二:过点A作∠BAC的平分线AD,交BC于点D.∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中,𝐴𝐵=𝐴𝐶,∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷,𝐴𝐷=𝐴𝐷,∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材证法三:过点A作BC边上的中线AD,交BC于点D.∴BD=CD.在△ABD和△ACD中,𝐴𝐵=𝐴𝐶,𝐵𝐷=𝐶𝐷,𝐴𝐷=𝐴𝐷,∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练证明:等腰三角形两底角的平分线相等.(请根据图19-6,用符号表示已知和求证,并写出证明过程).图19-6解:已知:如图,△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的角平分线,求证:BD=CE.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠DBC=12∠ABC,∠ECB=12∠ACB,∴∠DBC=∠ECB.在△BDC和△CEB中,∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠DBC=∠ECB.∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向二等腰三角形的判定例2如图19-7,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.图19-7证明:∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°.∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1[2018·桂林]如图19-8,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是.图19-83高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(1,3),M为坐标轴上一点,且使得△MOA为等腰三角形,则满足条件的点M的个数为.6[解析]分别以O,A为圆心,以OA长为半径作圆,与坐标轴的交点即为所求点M,再作线段OA的垂直平分线,与坐标轴的交点也是所求的点M,作出图形,利用数形结合求解即可.如图,满足条件的点M的个数为6,分别为M1(-2,0),M2(2,0),M3(0,2),M4(0,23),M5(0,-2),M60,233.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3如图19-9,在△ABC中,AB=AC,过点C作CN∥AB且CN=AC,连接AN交BC于点M.求证:BM=CM.图19-9证明:∵CN=AC,∴∠N=∠CAN.∵AB∥CN,∴∠BAM=∠N,∴∠BAM=∠CAM,∴AM为∠BAC的平分线,又∵AB=AC,∴AM为△ABC底边BC上的中线,∴BM=CM.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向三等边三角形例3如图19-10,在等边三角形ABC中,将△ABC沿直线BC向右平移,使点B和点C重合,得到△DCE,连接AE,交CD于点F.猜想CD与AE的关系,并证明你的结论.图19-10高频考向探究基础知识巩固考题回归教材解:猜想:AE与CD互相垂直平分,AE=3CD.证明:∵AC=BC=CE,∴C为BE的中点,AB⊥AE.∵∠B=∠DCE,∴AB∥CD.∴CD⊥AE.在Rt△CFE中,∵∠DCE=60°,∴EF=3CF.易知F为AE,CD的中点,∴AE与CD互相垂直平分,AE=3CD.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材【方法点析】理解平移后的图形和原图形全等是解答此类题的关键.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1[2016·贺州]如图19-11,在△ABC中,分别以AC,BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,BD交于点O,则∠AOB的度数为.图19-11120°高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2如图19-12所示,已知等边三角形ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(2,0),CH⊥AB,试求点C的坐标和△ABC的面积.图19-12解:∵A(-4,0),B(2,0),∴AB=6.∵△ABC是等边三角形,CH⊥AB,∴AH=BH=3.根据勾股定理,得CH=33.∴C(-1,33).∵S△ABC=12AB·CH,∴S△ABC=12×6×33=93.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向四线段的垂直平分线例4[2019·梧州]如图19-13,DE是△ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交AC于点E,且AC=8,BC=5,则△BEC的周长是()A.12B.13C.14D.15图19-13B[解析]∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线,∴AE=BE.∵AC=8,BC=5,∴△BEC的周长是:BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.故选B.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练如图19-14,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠CFE为度.图19-1465高频考向探究基础知识巩固考题回归教材[解析]如图,连接OB,OC.∵∠BAC=50°,AO为∠BAC的平分线,∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=12×50°=25°.∵AB=AC,∴∠ABC=12(180°-∠BAC)=12×(180°-50°)=65°.∵DO是AB的垂直平分线,∴OA=OB.∴∠ABO=∠BAO=25°.∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°.∵AO为∠BAC的平分线,AB=AC,∴△AOB≌△AOC(SAS).∴OB=OC.∴点O在BC的垂直平分线上.又∵DO是AB的垂直平分线,∴点O是△ABC的外心.∴OA=OC.∴∠OCA=∠OAC=25°.根据翻折的性质可得OF=CF.∴∠COF=∠OCF=25°.∴∠OFC=