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第四单元三角形课时17三角形与多边形关键词三角形的基本概念三角形的分类三角形的基本性质三角形中位线定理多边形的内角和与外角和高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点聚焦考点一三角形的基本概念1.由不在同一直线上的三条线段①顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形中的主要线段有:角平分线、中线、高.3.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线②第三边并且等于第三边的③.4.三角形④稳定性(填“具有”或“不具有”).5.三角形的面积=底边长×高÷2.6.三角形的中线把三角形分成面积⑤的两部分.首尾平行于一半具有相等高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点二三角形的分类1.三角形按边的关系分类如下:三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形高频考向探究考题回归教材基础知识巩固2.三角形按角的关系分类如下:三角形直角三角形(有一个角为直角的三角形)斜三角形锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)3.注意:把角和边联系在一起,有一种特殊的三角形——等腰直角三角形,它是两条直角边相等的直角三角形.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点三三角形的三边关系定理及推论1.三角形的三边关系定理:⑥.2.推论:三角形两边的差⑦.三角形两边的和大于第三边小于第三边高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点四三角形的内角和定理及推论1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于⑧.2.推论:(1)直角三角形的两个锐角⑨;(2)三角形的外角等于与它不相邻的⑩;(3)三角形的一个外角⑪任何一个与它不相邻的内角.180°互余两个内角的和大于高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点五n边形以及四边形的性质1.n边形的内角和为⑫,外角和为⑬,对角线条数为⑭,从一个顶点处可以引⑮条对角线.2.四边形的内角和为⑯,外角和为⑰,对角线条数为⑱.3.正多边形的定义:各条边都⑲,且各内角都⑳的多边形叫正多边形.(n-2)×180°360°(𝒏-𝟑)×𝒏𝟐(n-3)360°360°2相等相等高频考向探究考题回归教材基础知识巩固对点演练题组一必会题1.[2018·贵阳]如图17-1,在△ABC中有四条线段DE,BE,EG,FG,其中有一条线段是△ABC的中线,则该线段是()A.线段DEB.线段BEC.线段EGD.线段FGB图17-1高频考向探究考题回归教材基础知识巩固2.[2018·杭州]若线段AM,AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线,则()A.AMANB.AM≥ANC.AMAND.AM≤AND高频考向探究考题回归教材基础知识巩固3.在△ABC中,若∠B=∠C=2∠A,则∠A的度数为()A.72°B.45°C.36°D.30°C[解析]设∠A=x,则∠B=∠C=2x.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°,解得x=36°.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.如图17-2,∠ACD=120°,∠B=20°,则∠A的度数是()A.120°B.90°C.100°D.30°C[解析]∵∠ACD=120°,∠B=20°,∴∠A=∠ACD-∠B=120°-20°=100°.图17-2高频考向探究考题回归教材基础知识巩固5.若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是()A.6B.12C.16D.18B[解析]由内角为150°可知外角为30°.由外角和为360°,得n=360÷30=12.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固6.如图17-3,在正五边形ABCDE中,连接BE,则∠ABE的度数为()A.30°B.36°C.54°D.72°B[解析]根据“正多边形的定义:各边都相等,各角都相等”可计算出正五边形一个内角的度数,∠A=108°,再根据等腰三角形ABE两底角相等,可计算出底角∠ABE=36°.图17-3高频考向探究考题回归教材基础知识巩固7.如图17-4,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7.2,ED=1.8,AC=3,则AB的长是()A.5B.6C.7D.8A图17-4[解析]如图,过点D作DF⊥AC于点F.又∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,∴DF=DE=1.8.∴S△ABC=12×AB×1.8+12×3×1.8=7.2.解得AB=5.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固【失分点】三角形的三边关系;多边形角度的计算.题组二易错题8.[2018·泰州]已知三角形两边的长分别为1,5,第三边长为整数,则第三边的长为.5[解析]由“三角形三边关系”得5-1第三边的长5+1,即4第三边的长6,又因为第三边长为整数,所以第三边的长为5.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固9.[2018·贵阳]如图17-5,点M,N分别是正五边形ABCDE的两边AB,BC上的点,且AM=BN,点O是正五边形的中心,则∠MON的度数是度.72图17-5高频考向探究考题回归教材基础知识巩固[解析]如图所示,连接OA,OB.∵OA=OB,∠OAM=∠OBN,AM=BN,∴△OAM≌△OBN.∴∠AOM=∠NOB,∴∠AOM+∠MOB=∠NOB+∠MOB,即∠AOB=∠MON.∵∠AOB是正五边形的中心角,∴∠MON=∠AOB=360°5=72°.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固10.[2018·邵阳]如图17-6所示,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠C=110°,它的一个外角∠ADE=60°,则∠B的大小是.40°[解析]根据邻补角的性质可得∠CDA=180°-60°=120°,又因为四边形的内角和为360°,所以∠B=360°-110°-120°-90°=40°.图17-6高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向一三角形的三边关系例1若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是()A.6B.7C.11D.12C[解析]设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得4-2x4+2.解得2x6.因此,周长大于8且小于12.所以三角形的周长可能是11.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材【方法点析】三角形三边大小关系实际上是两点之间线段最短在三角形中的具体应用,关键是掌握第三边的范围是大于已知两边的差,且小于两边的和.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1有长度分别为1,3,5,7的4条线段,选择其中3条首尾连接可以构成不同三角形的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个精练2[2019·柳州柳北第五中学模拟]已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为()A.2B.3C.5D.13DB高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3已知△ABC的三边长a,b,c满足:(1)(a-2)2+|b-4|=0;(2)c为偶数.则c的值为.4[解析]∵(a-2)2+|b-4|=0,∴a=2,b=4.又∵a,b,c为△ABC的三边长,∴2c6.∵c为偶数,∴c=4.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向二三角形的内角与外角例2如图17-7,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,∠CAB=50°,∠C=60°,求∠DAE和∠BOA的度数.图17-7高频考向探究基础知识巩固考题回归教材解:∵∠BAC=50°,∠C=60°,∴∠ABC=180°-50°-60°=70°.又∵AD是高,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=180°-90°-∠C=30°.∵AE,BF是角平分线,∴∠CBF=∠ABF=35°,∠EAF=25°.∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°,∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°.∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°.故∠DAE=5°,∠BOA=120°.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1[2015·柳州]如图17-8,图中∠1的大小等于()A.40°B.50°C.60°D.70°图17-8D高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2018·南宁]如图17-9,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACD,若∠A=60°,∠B=40°,则∠ECD等于()A.40°B.45°C.50°D.55°C图17-9高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向三多边形的内、外角和例3[2019·宜宾]如图17-10,六边形ABCDEF的内角都相等,AD∥BC,则∠DAB=°.图17-1060[解析]在六边形ABCDEF中,(6-2)×180°=720°,720°6=120°,∴∠B=120°,∵AD∥BC,∴∠DAB=180°-∠B=60°,故答案为:60.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1[2017·柳州]如图17-11,这个五边形ABCDE的内角和等于()A.360°B.540°C.720°D.900°B图17-11高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2014·柳州]如图17-12,正六边形的每一个内角都相等,则其中一个内角α的度数是()A.240°B.120°C.60°D.30°B图17-12高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3[2016·柳州]如图17-13,在四边形ABCD中,若∠A+∠B+∠C=260°,则∠D的度数为()A.120°B.110°C.100°D.40°C图17-13高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向四三角形中的重要线段例4如图17-14,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE,交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为()A.7B.8C.9D.10图17-14B高频考向探究基础知识巩固考题回归教材[解析]在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AC=10.∵DE是△ABC的中位线,∴DF∥BM,DE=12BC=3.∴∠EFC=∠FCM.∵CF平分∠ACM,∴∠FCE=∠FCM.∴∠EFC=∠ECF.∴EC=EF=12AC=5.∴DF=DE+EF=3+5=8.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1[2019·梧州]如图17-15,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F,G分别是AD,AE的中点,且FG=2cm,则BC的长度是cm.8图17-15[解析]∵△ADE中,F,G分别是AD,AE的中点,∴FG是△ADE的中位线,∴DE=2FG=4cm,∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE=8cm,故答案为:8.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2下面是三角形中位线性质的证明步骤,请把证明步骤补充完整.如图17-16,D,E分别是△ABC中的边AB,AC的中点,求证:DE∥BC,DE=12BC.证明:延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.∵AE=EC,DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形().图17-16对角线互相平分的四边形是平行四边形高频考向探究基础知识巩固考题回归教材∴CF∥DA且CF=DA.().∵点D是AB的中点,∴CF∥BD且CF=BD.∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∴DF∥BC且DF=BC(平行四边形的对边平行且相等).∵EF=DE,DE=()DF.∴DE∥BC且DE=12BC.图17-16平行四边形的对边平行且相等𝟏𝟐高频考向探究基础知识巩固考题回归教材教材母题——人教版八上P17练习T9如图17-17,∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°,则x的值为.三角形中的角度计算图17-17140[解析]∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°-∠A=80°,∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠2+∠4=40°.∴x°=180°-(∠2+∠4)=140°.∴x=140.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练[2017·陕西]如图17-18,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=52°,则∠1+∠2的度数为.图17-1864°[解析]由已知条件:BD和CE是△ABC的两条角平分线,可得