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第三单元函数课时15二次函数的实际应用关键词二次函数的应用高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点聚焦考点一建立二次函数模型解决问题常见类型关键步骤抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解高频考向探究考题回归教材基础知识巩固【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固1.表格类观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性质求解.2.图文类根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.考点二图象信息类问题高频考向探究考题回归教材基础知识巩固对点演练题组一必会题1.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图15-1所示的平面直角坐标系,其函数解析式为y=-125x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,水面宽度AB为()A.-20mB.10mC.20mD.-10m图15-1C[解析]根据题意A,B的纵坐标均为-4,把y=-4代入y=-125x2,得x=±10.∴A(-10,-4),B(10,-4).∴AB=20m,即水面宽度AB为20m.故选C.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固2.如图15-2,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是()A.60m2B.63m2C.64m2D.66m2C图15-2[解析]设BC=xm,则AB=(16-x)m,矩形ABCD的面积为ym2.根据题意,得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64.当x=8时,ymax=64,故所围成矩形ABCD的最大面积是64m2.故选C.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固3.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt,其图象如图15-3所示.若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等,则下列时刻中,小球的高度最高的是()A.第3秒B.第3.5秒C.第4.2秒D.第6.5秒C图15-3高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式.(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?高频考向探究考题回归教材基础知识巩固解:(1)w=(x-30)·y=(x-30)·(-x+60)=-x2+90x-1800.∴w与x的函数关系式为w=-x2+90x-1800(30≤x≤60).高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(2)w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225.∵-10,∴当x=45时,w有最大值,w的最大值为225.答:这种双肩包销售单价定为45元时,每天的销售利润最大,最大销售利润是225元.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?(3)当w=200时,可得方程-(x-45)2+225=200.解得x1=40,x2=50.∵5042,∴x2=50不符合题意,应舍去.答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固【失分点】在具体实际问题确定最值时,忽略自变量的取值范围对最值的影响.题组二易错题5.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则平均每天可卖出200千克,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20千克,则该种蔬菜的价格定为元/千克时,每天获利最大,最大利润为元.4.548高频考向探究考题回归教材基础知识巩固[解析]设定价为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元,∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,∴每天的销售量为200-20(x-4.1)×10=-200x+1020,设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50,∵a=-20,∴当x≤4.6时W随x的增大而增大,∵物价局规定蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大获利=-2×(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向一二次函数在销售方面的应用例1九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元/件.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是元;②月销量是件.(直接写出结果)(2)设销售该运动服的月利润为w元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?售价(元/件)100110120130…月销量(件)200180160140…高频考向探究基础知识巩固考题回归教材解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x-60)元;②由表格可知,月售量与售价之间是一次函数关系,故设月销量y与x的解析式为y=kx+b.由题意,得100𝑘+𝑏=200,110𝑘+𝑏=180.解得𝑘=-2,𝑏=400.∴y=-2x+400.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材例1九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元/件.(2)设销售该运动服的月利润为w元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?售价(元/件)100110120130…月销量(件)200180160140…(2)由题意,得w=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800.∴当售价为130元/件时,当月的利润最大,最大利润是9800元.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练[2019·梧州]我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围;(3)若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并求出最大利润.解:(1)由题意,y=(x-5)100-𝑥-60.5×5=-10x2+210x-800,故y与x的函数关系式为:y=-10x2+210x-800.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练[2019·梧州]我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围;(2)要使当天利润不低于240元,则y≥240,由y=-10x2+210x-800=240,解得x1=8,x2=13,∵-100,抛物线的开口向下,∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练[2019·梧州]我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.(3)若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并求出最大利润.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材(3)∵每件文具利润不超过80%,∴𝑥-55≤0.8,得x≤9,∴文具的销售单价为6≤x≤9,由(1)得y=-10x2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5.∵对称轴为x=10.5,∴6≤x≤9在对称轴的左侧,且y随着x的增大而增大,∴当x=9时,y取得最大值,此时y=-10(9-10.5)2+302.5=280,即每件文具售价为9元时,利润最大,最大利润为280元.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向二利用二次函数解决抛物线形问题例2如图15-4,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽为4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=-16x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m,到地面OA的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;图15-4高频考向探究基础知识巩固考题回归教材(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m.如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离的最小值是多少米?图15-4高频考向探究基础知识巩固考题回归教材解:(1)由题意得,点B的坐标为(0,4),点C的坐标为3,172.∴4=-16×02+𝑏×0+𝑐,172=-16×32+𝑏×3+𝑐.解得𝑏=2,𝑐=4.∴该抛物线的函数关系式为y=-16x2+2x+4.∵y=-16x2+2x+4=-16(x-6)2+10,∴拱顶D到地面OA的距离为10m.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材例2如图15-4,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽为4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=-16x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m,到地面OA的距离为172m.(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m.如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?图15-4(2)当x=6+4=10时,y=-16x2+2x+4=-16×102+2×10+4=2236,∴这辆货车能安全通过.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材例2如图15-4,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽为4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=-16x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m,到地面OA的距离为172m.(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离的最小值是多少米?图15-4高频考向探究基