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第六单元圆课时25与圆有关的计算关键词扇形弧长与面积的计算圆柱、圆锥的有关计算高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点聚焦考点一弧长、扇形的面积1.如果弧长为l,圆心角为n°,圆的半径为r,那么弧长的计算公式为:l=①.2.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.若扇形的圆心角为n°,所在圆的半径为r,弧长为l,扇形面积为S,则S=②或S=③.𝒏𝛑𝒓𝟏𝟖𝟎𝒏𝛑𝒓𝟐𝟑𝟔𝟎𝟏𝟐lr高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点二圆柱和圆锥1.圆柱的侧面展开图是④,这个矩形的长等于圆柱的⑤,宽是圆柱的⑥,如果圆柱的底面圆半径为r,高为l,那么S圆柱侧=⑦.2.圆锥的侧面展开图是⑧,这个扇形的⑨等于圆锥的底面周长,扇形的⑩等于圆锥的母线长l,若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为n°,则n=⑪,S圆锥侧=⑫,S圆锥全=⑬.矩形底面圆的周长高2πrl扇形弧长半径𝟑𝟔𝟎𝒓𝒍πrlπrl+πr2高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点三正多边形和圆的相关计算设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.边心距r=𝑅2-(𝑎2)2周长l=na面积S=12nar每个内角的度数每个外角的度数中心角的度数(𝒏-𝟐)×𝟏𝟖𝟎°𝒏𝟑𝟔𝟎°𝒏𝟑𝟔𝟎°𝒏高频考向探究考题回归教材基础知识巩固【温馨提示】正六边形的边长等于其外接圆的半径,正三角形的边长等于其外接圆半径的3倍,正方形的边长等于其外接圆半径的2倍.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固对点演练题组一必会题1.已知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为()A.3π4B.2πC.3πD.12πC高频考向探究考题回归教材基础知识巩固2.若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径是()A.2cmB.3cmC.4cmD.6cmD[解析]根据圆锥底面圆周长=扇形弧长,即l=C,得12π=2πr.所以r=6.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固3.如果圆锥的母线长为5cm,底面圆半径为2cm,那么这个圆锥的侧面积是()A.10cm2B.10πcm2C.20cm2D.20πcm2B高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.[2019·遂宁]如图25-1,△ABC内接于☉O,若∠A=45°,☉O的半径r=4,则阴影部分的面积为()A.4π-8B.2πC.4πD.8π-8A图25-1[解析]由题意可知∠BOC=2∠A=45°×2=90°,S阴=S扇-S△OBC,S扇=14S圆=14×π×42=4π,S△OBC=12×42=8,所以阴影部分的面积为4π-8,故选A.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固5.如图25-2,点A,B,C在☉O上,☉O的半径为9,𝐴𝐵的长为2π,则∠ACB的大小是.图25-220°[解析]∵☉O的半径为9,☉O的周长为18π,𝐴𝐵的长为2π,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,∴2π÷18π×360°÷2=20°.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固6.[2019·淮安]若圆锥的侧面积是15π,母线长是5,则该圆锥底面圆的半径是.3[解析]设该圆锥底面圆的半径是r,则12×2πr×5=15π,解得r=3.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固7.[原创]已知正六边形的半径为23,则这个正六边形的边长为,边心距为,面积为,中心角的度数为.2𝟑318𝟑60°[解析]如图,在Rt△AOG中,OA=AB=23,∠AOG=30°,∴OG=OA·cos30°=23×32=3,正六边形的面积为6×12AB·OG=6×12×23×3=183,中心角的度数为60°.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固【失分点】扇形的弧长和面积公式中的n指的是圆心角的度数,易误代入圆周角的度数求解.题组二易错题8.如图25-3,CD为☉O的弦,直径AB为4,AB⊥CD于E,∠A=30°,则弧BC的长为.(结果保留π)图25-3𝟐𝟑π高频考向探究考题回归教材基础知识巩固9.如图25-4,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,OA=6,∠B=30°,则图中阴影部分的面积为.6π图25-4高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向一正多边形与圆例1如图25-5,已知圆内接正三角形的面积为3,则该圆的内接正六边形的边心距是()A.2B.1C.3D.32B图25-5高频考向探究基础知识巩固考题回归教材【方法点析】(1)以正n边形的半径R、边心距r和边长的一半为三角形的三边长可构成直角三角形.在正n边形中,共有2n个这样的直角三角形;(2)在正n边形中,构造直角三角形或特殊的三角形是解题常用方法.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练[2019·柳州]在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片,则这个正方形纸片的边长应为.5𝟐高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向二有关弧长、扇形、圆锥的计算例2如图25-6,PA为☉O的切线,A为切点,B是OP与☉O的交点.若∠P=20°,OA=3,则𝐴𝐵的长为.(结果保留π)图25-6𝟕𝟔π[解析]∵PA为☉O的切线,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°.∵∠P=20°,∴∠O=70°.∵r=OA=3,∴𝑙𝐴𝐵=𝑛π𝑟180=70×π×3180=76π.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动.如图25-7所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8cm,圆柱部分的高BC=6cm,圆锥体部分的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积是()A.68πcm2B.74πcm2C.84πcm2D.100πcm2图25-7C高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2019·梧州]如图25-8,已知半径为1的☉O上有三点A,B,C,OC与AB交于点D,∠ADO=85°,∠CAB=20°,则阴影部分的扇形OAC的面积是.图25-8𝟓𝛑𝟑𝟔[解析]∵∠ADO=85°,∠CAB=20°,∴∠C=∠ADO-∠CAB=65°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠C=65°,∴∠AOC=50°,∴阴影部分的扇形OAC面积=50·π×12360=5π36.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3已知圆锥的侧面积等于60πcm2,母线长10cm,则圆锥的高是cm.8[解析]设圆锥的底面圆的半径为r,利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12×2π·r·10=60π,解得r=6,然后根据勾股定理计算圆锥的高.具体过程如下:设圆锥的底面圆的半径为r.根据题意,得12×2π·r·10=60π.解得r=6.所以圆锥的高=102-62=8(cm).故答案为8.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向三有关阴影部分面积的计算例3如图25-9,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,且E为OB的中点,∠CDB=30°,CD=43,则阴影部分的面积为.图25-9𝟏𝟔𝟑π-4𝟑高频考向探究基础知识巩固考题回归教材[解析]如图,连接BC.∵∠CDB=30°,∴∠COB=60°.∵OC=OB,∴△OBC是等边三角形.∵E为OB的中点,∴CE⊥OB.∵CD=43,∴CE=23.∵∠COB=60°,∴∠OCE=30°,∠AOC=120°.∵在Rt△COE中,CE=23,𝐶𝐸𝑂𝐶=sin∠COE,∴OC=𝐶𝐸sin60°=2332=4.∴S扇形OAC=120π×42360=163π.又S△OAC=12×4×23=43,∴S阴影=163π-43.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1[2019·枣庄]如图25-10,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)()A.8-πB.16-2πC.8-2πD.8-12π图25-10C[解析]在边长为4的正方形ABCD中,BD是对角线,∴AD=AB=4,∠BAD=90°,∠ABE=45°,∴S△ABD=12·AD·AB=8,S扇形BAE=45·π·42360=2π,∴图中阴影部分的面积=S△ABD-S扇形BAE=8-2π,故选C.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2019·张家界]如图25-11,AB为☉O的直径,且AB=43,点C是𝐴𝐵上的一动点(不与A,B重合),过点B作☉O的切线交AC的延长线于点D,点E是BD的中点,连接EC.(1)求证:EC是☉O的切线;(2)当∠D=30°时,求图中阴影部分的面积.图25-11高频考向探究基础知识巩固考题回归教材解:(1)证明:连接OC,BC,OE,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=∠BCD=90°.∵点E是BD的中点,∴CE=BE,∵OB=OC,OE=OE,∴△OBE≌△OCE.∵BD是☉O的切线,∴∠OBE=90°=∠OCE,∵OC是☉O的半径,∴EC是☉O的切线.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2019·张家界]如图25-11,AB为☉O的直径,且AB=43,点C是𝐴𝐵上的一动点(不与A,B重合),过点B作☉O的切线交AC的延长线于点D,点E是BD的中点,连接EC.(2)当∠D=30°时,求图中阴影部分的面积.图25-11(2)∵∠D=30°,∠OBD=90°,∴∠A=60°,∴∠BOC=120°,∠EOB=60°.∵AB=43,∴OB=23,BE=6,∴S阴影=2S△OBE-S扇形OBC=2×12×6×23−120π×(23)2360=123-4π.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材教材母题——人教版九上P115习题24.4T4改编如图25-12,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,图中阴影部分的面积为.不规则图形的面积图25-12𝛑-𝟐𝟐a2高频考向探究基础知识巩固考题回归教材[解析]图中四个半圆都通过正方形的中心,用正方形的面积减去四个空白部分的面积,剩下的就是阴影部分的面积,而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空白部分的面积,所以所求阴影部分的面积为a2-a2-π·𝑎22×2=π2a2-a2=π-22a2.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材【方法点析】转化思想——求不规则图形的面积,常转化为易解决的基本图形的面积问题,然后求出各图形的面积,通过面积的和差求出结果.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1如图25-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1.将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为𝐵𝐷,则图中阴影部分的面积是()A.π6B.π3C.π2−12D.12图25-13A[解析]阴影部分面积等于S△ADE+S扇形ADB-S△ABC,由旋转可得△ADE与△ABC全等,由此可得面积也相等,阴影部分的面积就是扇形ADB的面积,根据扇形面积公式S=𝑛π𝑟2360计算,答案为π6.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2019·甘肃]如图25-14,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,点D是AB的中点,以A,B为圆心,AD,BD长为半径画弧,分别交AC,BC于点E,F,则图中阴影部分的面积为.图25-142-𝛑𝟐[解析]在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,CA=CB=2,∴AB=22,∠A=∠B=45°.∵点D是AB的中点,∴AD=DB=2.∴S阴影=S△ABC-2·S扇形ADE=12×2×2-2×45·π·(2)2360=2-π2,故答案为:2-π2.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3[2019·福建]如图25-15,边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的☉O的圆心重合,E,F分别是AD,BA的延长线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)[解析]分别延长DC,CB交☉O于G,H两点,∵正方形和圆都是中心对称图形,两者的中心重合,∴该图形为中心对称图形,∴阴影部分的面积=14(S☉O-S正方形ABCD)=14(4π-4)=π