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第六单元圆课时24与圆有关的位置关系关键词点与圆的位置关系直线与圆的位置关系切线的判定和性质三角形(多边形)的内切圆高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点聚焦考点一点与圆的位置关系如果圆的半径是r,点到圆心的距离是d,那么点在圆外⇔①点在圆上⇔②点在圆内⇔③drd=rdr高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点二直线与圆的位置关系位置关系相离相切相交几何图形交点个数012d与r的大小关系d④rd⑤rd⑥r=高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点三切线的性质与判定切线的性质圆的切线⑦过切点的半径推论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过⑧(2)经过切点且垂直于切线的直线必过⑨切线的判定(1)和圆只有⑩公共点的直线是圆的切线(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的,那么这条直线是圆的切线(3)经过半径的外端并且这条半径的直线是圆的切线常添辅助线连接圆心和切点证圆的切线的技巧:(1)有公共点,连半径,证垂直;(2)无公共点,作垂直,证半径.垂直于切点圆心一个半径垂直于高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点四切线长与切线长定理切线长经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长,这一点和圆心的连线两条切线的夹角基本图形如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,AB交PO于点C,则有如下结论:(1)PA=PB;(2)∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC,∠AOP=∠BOP=∠CAP=∠CBP相等平分高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点五三角形的外接圆与内切圆外接圆内切圆图形定义经过三角形的三个顶点的圆与三角形各边都相切的圆圆心O外心(三角形三条边的的交点)内心(三角形三个内角的的交点)垂直平分线角平分线高频考向探究考题回归教材基础知识巩固（续表）外接圆内切圆性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形的三条边的距离相等画法作三角形任意两边的垂直平分线,其交点即为圆心O,以圆心O到任一顶点的距离为半径作☉O即可作三角形任意两角的平分线,其交点即为圆心O,过点O作任一边的垂线段作为半径,作☉O即可高频考向探究考题回归教材基础知识巩固对点演练题组一必会题1.已知☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则点O到直线l的距离是()A.2.5B.3C.5D.10C[解析]如果☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么直线l和☉O相切⇔d=r,所以点O到直线l的距离等于5.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固2.[2019·苏州]如图24-1,AB为☉O的切线.切点为A,连接AO,BO,BO与☉O交于点C,延长BO与☉O交于点D,连接AD.若∠ABO=36°,则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°D[解析]∵AB为☉O的切线,∴∠OAB=90°,∵∠ABO=36°,∴∠AOB=90°-∠ABO=54°,∵OA=OD,∴∠ADC=∠OAD,∵∠AOB=∠ADC+∠OAD,∴∠ADC=12∠AOB=27°,故选D.图24-1高频考向探究考题回归教材基础知识巩固3.[2019·益阳]如图24-2,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是()A.PA=PBB.∠BPD=∠APDC.AB⊥PDD.AB平分PDD图24-2[解析]∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,∴选项A成立;∴∠BPD=∠APD,∴选项B成立;∵PA,PB是☉O的切线,∴AB⊥PD,∴选项C成立;只有当AD∥PB,BD∥PA时,AB平分PD,∴选项D不一定成立.故选D.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.如图24-3,AT切☉O于点A,AB是☉O的直径,若∠ABT=40°,则∠ATB=.50°[解析]∵AT是☉O的切线,∴∠TAB=90°.∵∠ABT=40°,∴∠ATB=50°.图24-3高频考向探究考题回归教材基础知识巩固5.如图24-4,AB为☉O的直径,延长AB至点D,使BD=OB,DC切☉O于点C,点B是𝐶𝐹的中点,弦CF交AB于点E.若☉O的半径为2,则CF=.图24-42𝟑高频考向探究考题回归教材基础知识巩固[解析]如图,连接OC,BC.∵DC切☉O于点C,∴∠OCD=90°.∵BD=OB,☉O的半径为2,∴BC=BD=OB=OC=2,即△BOC是等边三角形,∴∠BOC=60°.∵AB为☉O的直径,点B是𝐶𝐹的中点,∴CE=EF,AB⊥CF,即△OEC为直角三角形.∵在Rt△OEC中,OC=2,∠BOC=60°,∠OEC=90°,∴CF=2CE=2OC·sin60°=23.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固6.已知直角三角形的两直角边长分别为5和12,则它的外接圆半径R=,内切圆半径r=.6.52高频考向探究考题回归教材基础知识巩固7.若点O是等腰三角形ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,则△ABC的面积为.2-𝟑或2+𝟑[解析]如图,当△ABC是钝角三角形时,△BOC是等边三角形,且∠AOB=∠AOC=30°,BD=CD=1,∴OD=3BD=3,则AD=OA-OD=2-3,∴S△ABC=12BC·AD=12×2×(2-3)=2-3.当△ABC是锐角三角形时,AD=OA+OD=2+3,∴S△ABC=12BC·AD=12×2×(2+3)=2+3.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固8.如图24-5,已知AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是☉O的切线.图24-5证明:如图,连接OD.∵OA=OD,∴∠1=∠2.∵AD∥OC,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∴∠3=∠4.在△OBC和△ODC中,𝑂𝐵=𝑂𝐷,∠3=∠4,𝑂𝐶=𝑂𝐶,∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC.∵BC是☉O的切线,∴∠OBC=90°.∴∠ODC=90°.∴DC是☉O的切线.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固【失分点】定义法判定直线和圆的位置关系和d,r比较法判定直线和圆的位置关系相互混淆;切线长定理掌握得一知半解,导致做题过程复杂.题组二易错题9.如图24-6,已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是()A.OP=5B.OE=OFC.O到直线EF的距离是4D.OP⊥EFD图24-6高频考向探究考题回归教材基础知识巩固10.点P是圆O外一点,过点P作圆O的切线,切点分别为A和B,写出由切线长定理能够直接得到的结论:.AP=BP,∠APO=∠BPO高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向一切线的性质例1如图24-7,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,则DM的长为()A.133B.92C.4133D.25A图24-7高频考向探究基础知识巩固考题回归教材[解析]如图,连接OE,OF,OG,作ON⊥DM于N.在矩形ABCD中,∵∠A=∠B=90°,CD=AB=4,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°.∴四边形AFOE,FBGO是正方形.∴AF=BF=AE=BG=2.∴DE=3.∵DM是☉O的切线,∴DN=DE=3,MN=MG.∴CM=5-2-MN=3-MN.在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,∴(3+MN)2=42+(3-MN)2.解得MN=43.∴DM=3+43=133.故选A.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1如图24-8,在☉O中,AB为直径,BC为弦,CD为切线,连接OC.若∠BCD=50°,则∠AOC的度数为()A.40°B.50°C.80°D.100°C图24-8[解析]因为CD为☉O的切线,所以∠OCD=90°.又因为∠BCD=50°,所以∠BCO=40°.因为OB=OC,所以∠BCO=∠OBC=40°.所以∠AOC=∠BCO+∠OBC=80°.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2019·贺州]如图24-9,BD是☉O的直径,弦BC与OA相交于点E,AF与☉O相切于点A,交DB的延长线于点F,∠F=30°,∠BAC=120°,BC=8.(1)求∠ADB的度数;(2)求AC的长度.图24-9解:(1)∵AF与☉O相切于点A,∴AF⊥OA.∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.∵∠BAC=120°,∴∠DAC=30°,∴∠DBC=∠DAC=30°.∵∠F=30°,∴∠F=∠DBC,∴AF∥BC,∴OA⊥BC.∴∠BOA=90°-30°=60°,∴∠ADB=12∠AOB=30°.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2019·贺州]如图24-9,BD是☉O的直径,弦BC与OA相交于点E,AF与☉O相切于点A,交DB的延长线于点F,∠F=30°,∠BAC=120°,BC=8.(2)求AC的长度.图24-9(2)∵OA⊥BC,∴BE=CE=12BC=4,∴AB=AC.∵∠AOB=60°,OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OB.∵∠OBE=30°,∴OE=12OB,BE=3OE=4,∴OE=433,∴AC=AB=OB=2OE=833.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向二切线的判定例2如图24-10,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为直径BE所对的下半圆弧的中点,连接AD,交BC于点F,AC=FC.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)已知半径R=5,EF=3,求DF的长.图24-10高频考向探究基础知识巩固考题回归教材解:(1)证明:连接OA,OD,如图所示.∵D为直径BE所对的下半圆弧的中点,∴OD⊥BE.∴∠D+∠DFO=90°.∵AC=FC,∴∠CAF=∠CFA.∵∠CFA=∠DFO,∴∠CAF=∠DFO.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODF.∴∠OAD+∠CAF=∠ODF+∠OFD=90°,即∠OAC=90°.∴OA⊥AC.∴AC是☉O的切线.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材例2如图24-10,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为直径BE所对的下半圆弧的中点,连接AD,交BC于点F,AC=FC.(2)已知半径R=5,EF=3,求DF的长.图24-10(2)∵圆的半径R=5,EF=3,∴OF=2.在Rt△ODF中,∵OD=5,OF=2,∴DF=52+22=29.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材例3[2017·柳州]如图24-11,已知AO为Rt△ABC的角平分线,∠ACB=90°,𝐴𝐶𝐵𝐶=43,以O为圆心,OC为半径的圆分别交AO,BC于点D,E,连接ED并延长,交AC于点F.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)求tan∠CAO的值;(3)求𝐴𝐷𝐶𝐹的值.图24-11解:(1)证明:作OG⊥AB于点G.∵∠OCA=∠OGA,∠GAO=∠CAO,AO=AO,∴△OGA≌△OCA.∴OG=OC.∴AB是☉O的切线.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材例3[2017·柳州]如图24-11,已知AO为Rt△ABC的角平分线,∠ACB=90°,𝐴𝐶𝐵𝐶=43,以O为圆心,OC为半径的圆分别交AO,BC于点D,E,连接ED并延长,交AC于点F.(2)求tan∠CAO的值;图24-11(2)设AC=4x,BC=3x,圆O的半径为r,则AB=5x.由切线长定理知,AC=AG=4x,故BG=x.∵tanB=𝑂𝐺𝐵𝐺=𝐴𝐶𝐵𝐶=43,∴OG=43BG=43x.∴tan∠CAO=tan∠GAO=𝑂𝐺𝐴𝐺=13.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材例3[2017·柳州]如图24-11,已知AO为Rt△ABC的角平分线,∠ACB=90°,𝐴𝐶𝐵𝐶=43,以O为圆心,OC为半径的圆分别交AO,BC于点D,E,连接ED并延长,交AC于点F.(3