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第六单元圆课时23圆的基本性质关键词圆的有关概念垂径定理及推论弦、弧、圆心角的关系圆周角定理圆内接四边形高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点聚焦考点一圆的有关概念及性质1.圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做①,线段OA叫做②.2.圆的对称性:圆既是③对称图形,又是④对称图形,圆还具有旋转不变性.3.确定圆的条件:不在⑤点确定一个圆.圆心半径轴中心同一条直线上的三个高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.圆的有关概念概念弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.大于半圆的弧叫⑥,小于半圆的弧叫⑦弦连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做⑧圆心角顶点在圆心的角圆周角顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角优弧劣弧直径高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点二垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径⑨,并且平分弦所对的两条弧示例如图,如果CD⊥AB,则AM=BM,𝐴𝐶=𝐵𝐶,𝐴𝐷=𝐵𝐷平分弦高频考向探究考题回归教材基础知识巩固（续表）推论(1)平分弦(不是直径)的直径⑩于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧总结简言之,对于①过圆心、②垂直弦、③平分弦(不是直径)、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立,那么其他的结论也成立垂直垂直平分线高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点三圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等,所对的也相等示例如图,∠AOB=∠COD⇔𝐴𝐵=𝐶𝐷⇔AB=CD推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等弧弦高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点四圆周角定理及推论圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的常见图形推论1同弧或等弧所对的圆周角推论2半圆(或直径)所对的圆周角是,90°的圆周角所对的弦是一半相等直角直径高频考向探究考题回归教材基础知识巩固考点五圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角⑱.[拓展]圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,如图23-1,∠ABE=∠D.图23-1互补高频考向探究考题回归教材基础知识巩固对点演练题组一必会题1.在圆内接四边形ABCD中,已知∠A=70°,则∠C等于()A.20°B.30°C.70°D.110°D高频考向探究考题回归教材基础知识巩固2.如图23-2,点A,B,C在☉O上,∠AOB=72°,则∠ACB等于()A.28°B.54°C.18°D.36°D[解析]根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,得∠ACB=12∠AOB=12×72°=36°.图23-2高频考向探究考题回归教材基础知识巩固3.如图23-3,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是()A.7B.27C.6D.8图23-3B[解析]连接OC,则OC=4,OE=3.在Rt△OCE中,CE=𝑂𝐶2-𝑂𝐸2=42-32=7.因为AB⊥CD,所以CD=2CE=27.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固4.[2019·柳州二十五中模拟]如图23-4所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,连接AC,AD,若∠CAB=36°,则∠ADC的度数为.54°图23-4[解析]连接BC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠CAB=36°,∴∠B=54°,∴∠ADC=54°.故答案为:54°.高频考向探究考题回归教材基础知识巩固5.如图23-5,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点.若BC=6,AB=10,OD⊥BC于点D,则OD的长为.图23-54高频考向探究考题回归教材基础知识巩固【失分点】不能正确理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系;在角度计算或求线段长度时,如果图形不确定,需要分类讨论.题组二易错题6.[2019·柳州十二中模拟]如果两个圆心角相等,那么()A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对D高频考向探究考题回归教材基础知识巩固7.已知☉O的半径为13cm,弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB,CD之间的距离为cm.7或17[解析](1)当弦AB和CD在圆心同侧时,如图①,根据垂径定理,得AE=12cm,CF=5cm,∵OA=OC=13cm,∴OE=5cm,OF=12cm,∴EF=OF-OE=7cm;(2)当弦AB和CD在圆心异侧时,如图②,∴EF=OF+OE=17cm.故AB与CD之间的距离为7cm或17cm.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向一垂径定理的应用例1如图23-6,已知☉O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论不正确的是()A.CE=DEB.AE=OEC.𝐵𝐶=𝐵𝐷D.△OCE≌△ODE图23-6B[解析]∵AB⊥CD,∴CE=DE,𝐵𝐶=𝐵𝐷.∵CO=DO,∠CEO=∠DEO=90°,∴△OCE≌△ODE.不能确定AE和OE的关系,故选B.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1如图23-7,在半径为5cm的☉O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC等于()A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm图23-7B高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2019·眉山]如图23-8,☉O的直径AB垂直于弦CD.垂足是点E,∠CAO=22.5°,OC=6,则CD的长为()A.62B.32C.6D.12图23-8A[解析]∵∠CAO=22.5°,∴∠COE=45°.∵☉O的直径AB垂直于弦CD,OC=6,∴∠CEO=90°.∵∠COE=45°,∴CE=OE=22OC=32,∴CD=2CE=62,故选A.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向二圆周角及圆周角定理例2如图23-9,AB是☉O的直径,C,D两点在☉O上,若∠C=45°.(1)求∠ABD的度数;(2)若∠CDB=30°,BC=3,求☉O的半径.图23-9解:(1)∵∠C=45°,∴∠A=∠C=45°,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ABD=45°.(2)连接AC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠CAB=∠CDB=30°,BC=3,∴AB=6,∴☉O的半径为3.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1[2018·柳州]如图23-10,A,B,C,D是☉O上的四个点,∠A=60°,∠B=24°,则∠C的度数为()A.84°B.60°C.36°D.24°图23-10D[解析]∵𝐴𝐷所对的圆周角是∠B和∠C,∴∠C=∠B=24°.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2019·柳州]如图23-11,A,B,C,D是☉O上的点,则图中与∠A相等的角是()A.∠BB.∠CC.∠DEBD.∠D图23-11D高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3[2015·柳州]如图23-12,BC是☉O的直径,点A是☉O上异于B,C的一点,则∠A的度数为()A.60°B.70°C.80°D.90°D图23-12高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练4[2013·柳州]如图23-13所示的四个图中,∠x是圆周角的是()C图23-13高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练5[2019·柳州五城区模拟]将量角器按如图23-14所示的方式放置在三角形纸板上,使顶点C在半圆上,点A,B的读数分别为100°,150°,则∠ACB的大小为度.图23-1425[解析]连接OA,OB,由题意得:∠AOB=50°,∵∠ACB与∠AOB分别是𝐴𝐵所对的圆周角和圆心角,∴∠ACB=12∠AOB=25°.故答案为:25.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材考向三圆内接四边形例3如图23-15,A,B,C是☉O上的三个点.若∠AOC=100°,则∠ABC等于()A.50°B.80°C.100°D.130°图23-15D[解析]首先在优弧AC上取点D,连接AD,CD,由圆周角定理,可得∠ADC=50°.又由圆内接四边形的性质,可得∠ABC=180°-∠ADC=130°.故选D.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练1[2019·兰州]如图23-16,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=40°,则∠C=()A.110°B.120°C.135°D.140°D[解析]∵圆内接四边形的对角互补,∴∠A+∠C=180°,∵∠A=40°,∴∠C=140°,故选D.图23-16高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练2[2019·天水]如图23-17,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为()A.20°B.25°C.30°D.35°C图23-17[解析]∵四边形ABCD是菱形,∠D=80°,∴∠ACB=12∠DCB=12(180°-∠D)=50°.∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=80°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°.故选C.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练3证明:圆内接四边形的对角互补.证明:如图,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,求证:∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.证明如下:如图,连接OB,OD.∵∠A所对的弧为𝐵𝐶𝐷,∠C所对的弧为𝐵𝐴𝐷,又𝐵𝐶𝐷和𝐵𝐴𝐷所对的圆心角的和是周角,∴∠A+∠C=360°2=180°.同理∠ABC+∠ADC=180°.∴圆内接四边形的对角互补得证.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材教材母题——人教版九上P90T14如图23-18,A,P,B,C是☉O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.判断△ABC的形状,并证明你的结论.同弧所对的圆周角相等图23-18高频考向探究基础知识巩固考题回归教材解:△ABC是等边三角形.证明:在☉O中,∠BAC与∠CPB是𝐵𝐶所对的圆周角,∠ABC与∠APC是𝐴𝐶所对的圆周角,∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC.又∵∠APC=∠CPB=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°.∴∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形.高频考向探究基础知识巩固考题回归教材精练如图23-19,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上.若∠AED=20°,则∠BCD的度数为()A.100°B.110°C.115°D.120°图23-19B[解析]如图,连接AC.∵AB为☉O的直径,∴根据圆周角定理的推论,可分别求出∠ACB=90°,∠ACD=20°,即可求得∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°.