例说离心率的计算策略

例说离心率的计算策略650212云南省昆明光华学校高中部廖道忠一、利用基本参量在椭圆中，离心率221abace，在双曲线中，221abace.例1（1）已知椭圆上的动点P到椭圆的一个焦点的距离的最大值与最小值分别为28，，则该椭圆的离心率为.（2）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，且两条渐近线的方程为043,043yxyx，则双曲线的离心率为.解：（1）由椭圆的性质得,28caca3,5ca，.53e（2）两渐近线即xy43.当焦点在x轴上时，有43ab，45122abe；当焦点在y轴上时，有34ab，35122abe.故填“45或35”.二、利用第二定义由第二定义，椭圆、双曲线离心率即曲线上的动点到焦点的距离与到对应的准线的距离之比.例2已知动点),(yxM满足23)1()1(22yxyx，则M的轨迹曲线的离心率为.解：由23)1()1(22yxyx得2232)1()1(22yxyx，即动点),(yxM到定点)1,1(的距离等于M到定直线023yx的距离的2倍，M的轨迹为双曲线，且离心率为2.三、利用“焦点三角形”我们把椭圆或双曲线上的一点P与两焦点1F、2F构成的三角形21FPF称作“焦点三角形”.在椭圆中，2121PFPFFFe；在双曲线中，2121PFPFFFe.例3右图中多边形均为正多边形，图①中1F、2F为椭圆的焦点，M、N分别为所在边的中点，则椭圆的离心率为；图②中1F、2F为椭圆的焦点，M、N、P、Q分别为所在边的中点，则双曲线的离心率为.解：在椭圆中，连NF1，设正三角形的边长为2x，则xFF221，xNF2，xNF31，.131322121NFNFFFe在双曲线中，连QFFF121,，设正六边形的边长为x2，则xFF421，xQF2，.1360cos2221222211xQFFFQFFFQF.311311342121QFQFFFe四、利用参量关系式先得到cba,,间的关系式，然后利用222cab或222acb化去b，得到关于ca,的齐次方程式，进而解出离心率.例4如图，椭圆的左焦点F、上顶点B与右顶点A恰好构成以B为直角顶点的直角三角形，求此椭圆的离心率e.解：FBA为直角三角形，222FABAFB.2222)()(cacba，将222cab代入，整理得022aacc.两边同除以2a得012ee，251e（251e舍去）.（650212云南省昆明光华学校高中部廖道忠电子邮箱：[e-mail]）F1F2NM①QNMPF2F1②yBAFxO