（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习 专题三 三角函数 3.2 三角变换与解三角形课件

专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练3.2三角变换与解三角形专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-2-突破点一突破点二突破点三突破点四三角恒等变换及求值【例1】(1)若tanα=34,则cos2α+2sin2α=()A.6425B.4825C.1D.1625(2)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.分析推理(1)可以根据同角三角函数关系和倍角公式,结合“1”的代换,将所求转化为关于tanα的式子,然后代值求解;也可先利用商数关系结合已知建立弦函数之间的关系,然后代入所求式子化简求值.(2)首先将已知两式分别平方,然后两式相加,结合同角三角函数与和角公式即可得所求.A-12专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-3-突破点一突破点二突破点三突破点四解析:(1)(方法一)由tanα=34,得cos2α+2sin2α=cos2𝛼+4sin𝛼cos𝛼cos2𝛼+sin2𝛼=1+4tan𝛼1+tan2𝛼=1+4×341+342=42516=6425.故选A.(方法二)∵tanα=34,∴3cosα=4sinα,即9cos2α=16sin2α.又sin2α+cos2α=1,∴9cos2α=16(1-cos2α),∴cos2α=1625.∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosα=cos2α+3cos2α=4cos2α=4×1625=6425,故选A.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-4-突破点一突破点二突破点三突破点四(方法三)在角α的终边上任取一点P(x,y),记r=𝑥2+𝑦2.则由已知,tanα=𝑦𝑥=34,∴y=34x.∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosα=𝑥𝑟2+4·𝑦𝑟·𝑥𝑟=𝑥2+4𝑥𝑦𝑟2=𝑥2+4𝑥×34𝑥𝑥2+34𝑥2=4𝑥22516𝑥2=6425.故选A.(2)∵(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=1,∴sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sinαcosβ+2sinβcosα=1+1+2sin(α+β)=1.∴sin(α+β)=-12.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-5-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法恒等变换要“三看”“两统一”“抓关系”(1)三看:①一看“角度”,看已知与所求,等式之间的角度有什么不同.②看“名称”,看已知与所求,函数名称有什么不同.③看“结构”,看已知与待求式的结构特征有什么不同.(2)两统一:①统一角,根据已知和所求,统一角的表示,从角的关系找准思路.②统一函数,统一函数名称,一般是“切化弦”,从而找到所求.(3)抓关系:准确把握已知和所求的关系及已知之间的关系,明确化简的依据与方向.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-6-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固1(1)已知sinθ+cosθ=2sinα,sin2θ=2sin2β,则()A.cosβ=2cosαB.cos2β=2cos2αC.cos2β=2cos2αD.cos2β=-2cos2α(2)(2019河南六市联考)已知cosα=17,cos(α-β)=1314,若0βαπ2,则β=.Cπ3解析:(1)由同角三角函数的基本关系可得sin2θ+cos2θ=1,所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+sin2θ.由已知可得(2sinα)2=1+2sin2β,即4sin2α=1+2sin2β.由二倍角公式可得4×1-cos2𝛼2=1+2×1-cos2𝛽2,整理得cos2β=2cos2α.故选C.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-7-突破点一突破点二突破点三突破点四(2)由cosα=17,0απ2,得sinα=1-cos2𝛼=1-172=437.由0βαπ2,得0α-βπ2.又cos(α-β)=1314,∴sin(α-β)=1-cos2(𝛼-𝛽)=1-13142=3314.由β=α-(α-β),得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×3314=12.∵𝛽∈0,π2,∴β=π3.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-8-突破点一突破点二突破点三突破点四正弦定理、余弦定理的简单应用【例2】(1)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA=()(2)(2019河南郑州第二次质检)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinC+2sinCcosB=sinA,C∈0,π2,a=6,cosB=13,则b=.分析推理(1)首先结合已知画出图形,利用已知求出△ABC的三边长之间的关系,然后代入余弦定理求角即可;也可以将所求角A用∠DAB+∠DAC表示,分别求出两角的正弦和余弦值,代入和角公式中求值即可.(2)利用正弦定理将已知条件角化边求得c,再利用余弦定理解得b即可.A.31010B.1010C.-1010D.-31010C125专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-9-突破点一突破点二突破点三突破点四解析:(1)(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=𝐴𝐷2+𝐷𝐶2=5AD,AB=2AD.由余弦定理,得cosA=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2-𝐵𝐶22𝐴𝐵·𝐴𝐶=2𝐴𝐷2+5𝐴𝐷2-9𝐴𝐷22×2𝐴𝐷×5𝐴𝐷=-1010,故选C.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-10-突破点一突破点二突破点三突破点四(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=π4.设∠DAC=α,则∠BAC=α+π4.∵BC=3AD,BD=AD,∴DC=2AD,AC=5AD.∴sinα=25=255,cosα=15=55.∴cos∠BAC=cos𝛼+π4=cosαcosπ4-sinαsinπ4=22(cosα-sinα)=22×55-255=-1010,故选C.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-11-突破点一突破点二突破点三突破点四(2)∵sinC+2sinCcosB=sinA,由正弦定理可得c+2ccosB=a,代入cosB=13,a=6,得到a=53c,∴c=365.又cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=6+5425-𝑏22×6×365=13,∴b=125.故答案为125.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-12-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法1.已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.2.已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,最后利用A+B+C=π,求另一角.3.已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.4.已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C(或先用余弦定理求出最大边所对的角,再用正弦定理及三角形内角和定理求另外两个内角).专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-13-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固2(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为𝑎2+𝑏2-𝑐24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π6(2)在△ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为,则这个三角形的面积为()1314A.1534B.154C.2134D.3534CA专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-14-突破点一突破点二突破点三突破点四解析:(1)由S=𝑎2+𝑏2-𝑐24=12absinC,得c2=a2+b2-2absinC.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,可得sinC=cosC,即C=π4.(2)设最小角为α,故α对应的边长为a,则cosα=(𝑎+4)2+(𝑎+2)2-𝑎22(𝑎+4)(𝑎+2)=𝑎2+12𝑎+202𝑎2+12𝑎+16=1314,解得a=3.∵最小角α的余弦值为1314,∴sinα=1-cos2𝛼=1-13142=3314.∴S△ABC=12×(a+4)(a+2)sinα=12×35×3314=1534.故选A.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-15-突破点一突破点二突破点三突破点四解三角形【例3】(2019广东揭阳一模)在△ABC中,AC=42,∠C=π6,点D在BC上,cos∠ADC=-13.(1)求AD的长.(2)若△ABD的面积为2,求AB的长.分析推理(1)先根据同角三角函数关系得sin∠ADC,再根据正弦定理求得结果;(2)先根据三角形面积公式得BD,再根据余弦定理得结果.2专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-16-突破点一突破点二突破点三突破点四解:(1)∵cos∠ADC=-13,且0∠ADCπ,∴sin∠ADC=1--132=223.由正弦定理有𝐴𝐷sin𝐶=𝐴𝐶sin∠𝐴𝐷𝐶,得AD=𝐴𝐶sin𝐶sin∠𝐴𝐷𝐶=42×12×322=3.(2)∵sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC=223,S△ABD=12AD·BD·sin∠ADB=2BD,∴2BD=22,得BD=2.又cos∠ADB=cos(π-∠ADC)=-cos∠ADC=13,由余弦定理得AB2=32+22-2×3×2×13=9,∴AB=3.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-17-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法1.边角互化的方法(1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知角转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系.在化简的过程中要注意不要随便约分.(2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系.在求解的过程中要注意应用A+B+C=π这个结论.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-18-突破点一突破点二突破点三突破点四2.三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形,则可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系,则运用正、余弦定理求出其两边及其夹角,再利用三角形面积公式求解.(3)解决有关面积问题时,有时涉及同角三角函数基本关系式、三角恒等变换等.专题三3.2三角变换与解三角形高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-19-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固3在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB.(2)若DC=2,求BC.2解:(1)在△ABD中,由正弦定理得𝐵𝐷sin𝐴=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐷𝐵.由题设知,5sin45°=2sin∠𝐴𝐷𝐵,所以sin∠ADB=25.由题设知,∠ADB90°,所以cos∠ADB=1-2