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专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练2.2函数与方程及函数的应用专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-2-突破点一突破点二突破点三函数零点的求解与判定【例1】若函数f(x)=其中m0,则方程f(-f(x))=1的实数根的个数为()A.2B.3C.4D.5分析推理该题是求一个分段函数型的复合函数对应方程的解的个数,根据函数值求解方法先把-f(x)看作一个整体,则所解方程就转化为方程f(t)=1,然后根据t的取值不同代入相应解析式求解,最后再解方程f(x)=-t即可.也可根据复合函数运算法则,先分析方程f(x)=1的解,然后将方程的解转化为直线与函数图象交点个数问题,根据图象的直观性进行判断即可.𝑚𝑥-1,𝑥≤0,-ln𝑥,𝑥0,C专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-3-突破点一突破点二突破点三解析:方法一(直接法)令-f(x)=t,即f(x)=-t.则方程f(-f(x))=1即为f(t)=1.(1)当t≤0时,由f(t)=1,得mt-1=1,解得t=2𝑚;因为m0,所以t=2𝑚0.(2)当t0时,由f(t)=1,得-lnt=1,解得t=1e.显然1e0.综上,f(t)=1的两根为2𝑚与1e,故方程f(-f(x))=1的解即为方程f(x)=-2𝑚与f(x)=-1e的解.解方程f(x)=-2𝑚:①当x≤0时,方程可化为mx-1=-2𝑚,解得x=1-2𝑚𝑚=𝑚-2𝑚2,因为m0,所以𝑚-2𝑚20;专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-4-突破点一突破点二突破点三②当x0时,方程可化为-lnx=-2𝑚,解得x=e2𝑚.显然e2𝑚0.所以方程f(x)=-2𝑚有两个解𝑚-2𝑚2,e2𝑚.解方程f(x)=-1e:①当x≤0时,方程可化为mx-1=-1e,解得x=1-1e𝑚,因为m0,所以1-1e𝑚0;②当x0时,方程可化为-lnx=-1e,解得x=e1e.显然e1e0.所以方程f(x)=-1e有两个解1-1e𝑚,e1e.综上,方程f(-f(x))=1有四个根𝑚-2𝑚2,e2𝑚,1-1e𝑚,e1e.故选C.专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-5-突破点一突破点二突破点三方法二(数形结合)作出函数f(x)的图象,由f(-f(x))=1结合图象知存在a,b使-f(x)=a1𝑚,或-f(x)=b∈(0,1),即f(x)=-a-1𝑚,或f(x)=-b∈(-1,0).由f(x)=-a-1𝑚0知,函数y=f(x)的图象与直线y=-a0存在两个交点,此时方程f(-f(x))=1的实数根有2个;由f(x)=-b∈(-1,0),知函数y=f(x)的图象与直线y=-b∈(-1,0)存在两个交点,此时方程f(-f(x))=1的实数根有2个.综上可知方程的实数根个数为4.专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-6-突破点一突破点二突破点三规律方法确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,方程易求解时用此法;(2)函数零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质、导数等知识;(3)数形结合法,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-7-突破点一突破点二突破点三即时巩固1定义在R上的函数f(x),满足f(x)=𝑥2+2,𝑥∈[0,1),2-𝑥2,𝑥∈[-1,0),且f(x+1)=f(x-1),若g(x)=3-log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(0,+∞)内的零点个数有()A.3个B.2个C.1个D.0个B解析:由f(x+1)=f(x-1)得f(x)的周期为2,作函数y=f(x),y=g(x)的图象,由图可得有两个交点,所以选B.专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-8-突破点一突破点二突破点三函数零点的应用【例2】(1)(2019天津十二重点中学联考(一))已知函数f(x)=𝑥2+4𝑥,-3≤𝑥≤0,2𝑥-3,𝑥0,若方程f(x)+|x-2|-kx=0有且只有三个不相等的实数解,则实数k的取值范围是()A.-23,3-22B.-23,3+22C.-∞,-23D.-23,16(2)(2019天津南开区一模)设函数f(x)=𝑥2-5𝑥+6,𝑥≥0,4𝑥+4,𝑥0,若函数g(x)=x+a-f(x)有三个零点,则这三个零点之和的取值范围是.A113,6专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-9-突破点一突破点二突破点三分析推理(1)f(x)+|x-2|-kx=0有且只有三个不相等的实数根,等价于y=f(x)+|x-2|与y=kx的图象有三个交点,画出对应函数的图象与直线y=kx,根据图象的直观性,利用数形结合可得结果;(2)将原题中有三个零点转化为直线y=a和函数y=f(x)-x的图象有三个交点,画出图象,根据图象的直观性判断交点的横坐标之和的范围即可.专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-10-突破点一突破点二突破点三解析:(1)f(x)+|x-2|-kx=0有且只有三个不相等的实数根,等价于y=f(x)+|x-2|与y=kx的图象有三个交点,画出y=f(x)+|x-2|=𝑥2+3𝑥+2,-3≤𝑥≤0,𝑥-1,0𝑥≤2,3𝑥-5,𝑥2与y=kx的图象如图,专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-11-突破点一突破点二突破点三直线y=kx与抛物线y=x2+3x+2相切时k=3-22,直线y=kx过点(-3,2)时,k=-23.根据图象可知,当-23≤k3-22时,两图象有三个交点,故若方程f(x)+|x-2|-kx=0有且只有三个不相等的实数解,则实数k的取值范围是-23,3-22,故选A.专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-12-突破点一突破点二突破点三(2)函数f(x)=𝑥2-5𝑥+6,𝑥≥0,4𝑥+4,𝑥0,若函数g(x)=x+a-f(x)有三个零点,即方程a=f(x)-x有三个根,f(x)-x=𝑥2-6𝑥+6,𝑥≥0,3𝑥+4,𝑥0,即y=a和y=f(x)-x的图象有三个交点,在同一坐标系中画出函数的图象.专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-13-突破点一突破点二突破点三设三个交点x1,x2,x3满足x1x2x3,根据方程3x+4=a的零点的范围,当x2-6x+6取得最小值-3时,解得x1=-73,即x1∈-73,0.根据二次函数的对称性得到x2+x3=6,故x1+x2+x3∈113,6.规律方法解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.对于存在函数的零点求参数取值范围的问题,可通过分离参数,转化为求函数的最值问题.专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-14-突破点一突破点二突破点三即时巩固2(1)(2019天津十二重点中学高三联考(二))已知函数f(x)=-76𝑥-1,𝑥𝑎,𝑥2+3𝑥+4,𝑥≤𝑎,g(x)=f(x)-ax,若函数g(x)恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.-3,-43B.-43,-76C.(-∞,-1)D.(7,+∞)(2)(2019重庆一中月考)已知函数f(x)=|𝑥+1|,𝑥≤0,|log2𝑥|,𝑥≥0,若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4,则-x3(x1+x2)+4𝑥32𝑥4的取值范围是()A.(6,9]B.(6,9)C.(42,+∞)D.[42,+∞)BA专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-15-突破点一突破点二突破点三解析:(1)显然g(0)≠0,所以由g(x)=f(x)-ax=0,得𝑓(𝑥)𝑥=a,𝑓(𝑥)𝑥=-76-1𝑥,𝑥𝑎,𝑥+3+4𝑥,𝑥≤𝑎,作图如下:由图得当a≥0时,函数g(x)至多有两个不同的零点,当a0时,a-76,a-2,a+3+4𝑎≤a,故-43≤a-76,选B.专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-16-突破点一突破点二突破点三(2)作出函数f(x)=|𝑥+1|,𝑥≤0,|log2𝑥|,𝑥≥0的图象如下:因为方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4,所以有x1+x2=-2,x3x4=1,故-x3(x1+x2)+4𝑥32𝑥4=2x3+4𝑥3,再由|log2x|=1可得x=2或x=12,即12≤x31,令g(x)=2x+4𝑥12≤𝑥1,则g'(x)=2-4𝑥2,因为12≤x1,所以g'(x)=2-4𝑥20,即函数g(x)=2x+4𝑥在区间12,1内单调递减,又g12=1+8=9,g(1)=2+4=6,所以g(x)∈(6,9].即-x3(x1+x2)+4𝑥32𝑥4的取值范围是(6,9].故选A.专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-17-突破点一突破点二突破点三函数的实际应用【例3】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为rm,高为hm,体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.分析推理(1)首先利用r,h分别求出圆柱的侧面积与底面面积,根据建造成本即可表示出建造总成本,列出方程求出h,然后代入圆柱体积公式即可得到目标函数;利用h的表达式和h0,可得到r的取值范围,即函数的定义域.(2)根据得到的函数V(r)的结构特征,采用相应的方法分析函数的单调性,从而求得最值.专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-18-突破点一突破点二突破点三解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又根据题意200πrh+160πr2=12000π,所以h=15𝑟(300-4r2),所以V(r)=πr2h=π5(300r-4r3).因为r0,又h0,可得r53,所以函数V(r)的定义域为(0,53).专题二2.2函数与方程及函数的应用高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-19-突破点一突破点二突破点三(2)因为V(r)=π5(300r-4r3),所以V'(r)=π5(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)0,所以V(r)在区间(0,5)内为增函数;当r∈(5,53)时,V'(r)0,所以V(r)在区间(5,53)内为减函数.由此可知,V(r)