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第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练一、函数与方程思想第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练数学思想•聚焦诠释-2-高考命题聚焦素养思想诠释函数与方程思想是思想方法中的命题重点,主要体现在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几何等题目中.考试时,经常在客观题中考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练数学思想•聚焦诠释-3-高考命题聚焦素养思想诠释1.函数与方程思想的含义(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.(3)方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练数学思想•聚焦诠释-4-高考命题聚焦素养思想诠释2.函数与方程思想在解题中的应用(1)与数列有关的基本量的运算,常采用方程思想解决;与数列有关的最值问题,常先建立有关变量的函数,再用函数的观点给予解决.(2)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-5-突破点一突破点二突破点三突破点四利用函数思想解决与方程有关的问题【例1】若关于x的方程cos2x=a-2sinx在区间(0,π)内有解,则实数a的取值范围为()A.-1,12B.(2,22)C.22,2D.1,32分析推理首先根据已知方程可分离出参数a,便可将方程在指定区间内有解转化为对应函数在该区间内的值域问题,进而根据函数解析式的结构特征,将其转化为关于sinx的一个二次型函数值域问题,可以直接求解,也可以利用换元法转化为二次函数的值域问题求解.D第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-6-突破点一突破点二突破点三突破点四解析:由方程可得a=cos2x+2sinx.令f(x)=cos2x+2sinx(x∈(0,π)).因为关于x的方程cos2x=a-2sinx在区间(0,π)内有解,所以实数a的取值范围就是函数f(x)=cos2x+2sinx(x∈(0,π))的值域.(方法一)因为f(x)=1-2sin2x+2sinx=-2sinx-122+32,又x∈(0,π),所以sinx∈(0,1],sinx-12∈-12,12,所以sin𝑥-122∈0,14,故f(x)∈1,32,即实数a的取值范围为1,32.故选D.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-7-突破点一突破点二突破点三突破点四(方法二)因为f(x)=1-2sin2x+2sinx,设t=sinx,又x∈(0,π),所以sinx∈(0,1],即t∈(0,1].则y=1-2t2+2t=-2t2+2t+1(t∈(0,1]).如图,作出函数y=-2t2+2t+1的图象.由图可知函数图象与y轴交于点A(0,1);与直线t=1交于点C(1,1),对称轴为直线t=12,顶点坐标为B12,32.故函数y=-2t2+2t+1(t∈(0,1])的值域为1,32,即实数a的取值范围为1,32.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-8-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法利用函数思想解决方程解的问题时,可根据方程的结构特征通过分离参数,转化为a=f(x)的形式,则实数a的取值范围就是函数f(x)的值域.然后根据函数解析式的结构特征,选用适当的方法求解函数的值域即可.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-9-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固1已知关于x的方程cos2x=m-2sinx在区间π4,π上有解,则实数m的取值范围是()A.[1,2]B.1,12+2C.[-∞,2]D.[-2,2]A解析:由方程分离参数得m=cos2x+2sinx.令f(x)=cos2x+2sinx𝑥∈π4,π.由题意知关于x的方程cos2x=m-2sinx在区间π4,π上有解,则实数m的取值范围就是函数f(x)=cos2x+2sinx𝑥∈π4,π的值域.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-10-突破点一突破点二突破点三突破点四(方法一)∵函数f(x)=cos2x+2sinx=1-sin2x+2sinx=2-(sinx-1)2,又x∈π4,π,∴0≤sinx≤1,当sinx=1时,函数f(x)有最大值2.当sinx=0时,函数f(x)有最小值2-1=1.故函数f(x)的值域为[1,2],即实数m的取值范围为[1,2].故选A.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-11-突破点一突破点二突破点三突破点四(方法二)∵函数f(x)=cos2x+2sinx=1-sin2x+2sinx,令t=sinx,又x∈π4,π,∴0≤sinx≤1,即t∈[0,1].故y=1-t2+2t(t∈[0,1]).如图,作出函数y=1-t2+2t的图象.由图知函数图象与y轴交于点A(0,1),与直线t=1的交点为B(1,2).则该函数在区间[0,1]上的值域为[1,2].故实数m的取值范围为[1,2],故选A.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-12-突破点一突破点二突破点三突破点四函数与方程思想在不等式中的应用【例2】(1)已知函数f(x)=log2x,当x∈[2,16]时,函数f(x)的值域为A,则对集合A内的任意实数m,使关于x的不等式x2+mx+42m+4x恒成立的实数x的取值范围为()A.(-∞,-2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)1-f'(x),f(0)=0,f'(x)是f(x)的导函数,则关于x的不等式exf(x)ex-1的解集是()A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)DC第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-13-突破点一突破点二突破点三突破点四分析推理(1)首先根据对数函数的单调性确定集合A,然后以m为变量构造与不等式对应的函数,根据函数的图象和性质确定参数所满足的条件;(2)已知可化为f'(x)+f(x)1,根据导数运算法则,需要构造exf(x)型的函数,根据所解不等式,故可直接构造函数exf(x)-ex+1,即可根据已知判断函数的单调性,然后求解不等式.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-14-突破点一突破点二突破点三突破点四解析:(1)因为x∈[2,16],所以f(x)=log2x∈[1,4],即A=[1,4].因为关于x的不等式x2+mx+42m+4x对任意的m∈[1,4]恒成立,所以m(x-2)+(x-2)20对任意的m∈[1,4]恒成立.设g(m)=(x-2)m+(x-2)2.因为该函数在区间[1,4]上恒大于0,所以𝑔(1)0,𝑔(4)0,即𝑥-2+(𝑥-2)20,4(𝑥-2)+(𝑥-2)20,解得x-2或x2,故选D.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-15-突破点一突破点二突破点三突破点四(2)关于x的不等式exf(x)ex-1可化为exf(x)-ex+10.设g(x)=exf(x)-ex+1,则不等式即为g(x)0.g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1].由已知f(x)1-f'(x),可知f(x)+f'(x)-10,所以g'(x)0,所以函数g(x)是R上的增函数.又f(0)=0,所以g(0)=e0f(0)-e0+1=0,则不等式g(x)0=g(0)的解集为(0,+∞).故选C.规律方法函数与不等式可以相互转化,把不等式问题转化为函数问题,从而借助函数的图象和性质解决相关的问题.涉及不等式恒成立问题、有解以及比较大小等问题,一般可根据不等式的结构特征,利用函数思想构造新函数或函数关系式,利用函数的值域或单调性求解.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-16-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固2(2019山西太原一模)已知定义在(0,+∞)内的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)0,且f(2)=2,则f(ex)-x0的解集是()A.(-∞,ln2)B.(ln2,+∞)C.(0,e2)D.(e2,+∞)A解析:令g(x)=𝑓(𝑥)𝑥,g'(x)=𝑥𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑥20,所以g(x)是减函数,且g(2)=𝑓(2)2=1.所以f(ex)-x0等价为𝑓(e𝑥)𝑥𝑓(2)2,即g(ex)g(2),故ex2,解得xln2.故f(ex)-x0的解集为(-∞,ln2).故选A.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-17-突破点一突破点二突破点三突破点四函数与方程思想在数列中的应用【例3】已知数列{an}的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn=𝑎𝑛+122.(1)求{an}的通项公式.(2)设bn=4(𝑎𝑛+1)(𝑎𝑛+1+1),求数列𝑏𝑛的前n项和Tn.(3)在(2)的条件下,证明:1+lnTnTn.分析推理(1)首先根据Sn与an的关系将已知转化为an与an-1的关系,进而确定数列的性质,求其通项;(2)根据第(1)问的结果,写出bn的表达式,然后利用裂项相消法求和即可;(3)先确定Tn的取值范围,再将Tn看作一个变量,构造函数f(x)=1-x+lnx,则可利用函数知识证明f(x)0即可.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-18-突破点一突破点二突破点三突破点四(1)解:当n=1时,a1=S1=𝑎1+122,解得a1=1.因为an0,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=𝑎𝑛+122−𝑎𝑛-1+122,化简得an-an-1=2.所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.故an=2n-1.(2)解:由(1)知,an=2n-1.则bn=4(𝑎𝑛+1)(𝑎𝑛+1+1)=42𝑛(2𝑛+2)=1𝑛−1𝑛+1.所以Tn=1-12+12−13+…+1𝑛−1𝑛+1=1-1𝑛+1=𝑛𝑛+1.第一部分一、函数与方程思想数学思想•聚焦诠释高频考点•探究突破核心