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第1讲机械振动（实验：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度一简谐运动二单摆三受迫振动及共振基础过关考点一简谐运动考点二简谐运动的图像考点三受迫振动和共振考点突破考点四实验：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度基础过关一、简谐运动1.定义:如果质点的位移与时间的关系遵从①正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条②正弦曲线,这样的振动叫做简谐运动。2.平衡位置:物体在振动过程中③回复力为零的位置。3.回复力(1)定义:使物体返回到④平衡位置的力。(2)方向:总是指向⑤平衡位置。(3)来源:振动物体所受的沿⑥振动方向的合力。4.简谐运动的表达式(1)动力学表达式:F=-kx,其中“-”表示回复力与⑦位移的方向相反。(2)运动学表达式:x=Asin(ωt+φ),其中A代表振幅,ω=2πf表示简谐运动振动的快慢,(ωt+φ)代表简谐运动的⑧相位,φ叫做⑨初相位。5.描述简谐运动的物理量定义意义振幅振动物体离开平衡位置的⑩ 最大距离描述振动的强弱和能量周期振动物体完成一次 全振动所需时间描述振动的 快慢,两者关系:T= 频率振动物体 单位时间内完成全振动的次数相位ωt+φ描述物体在各个时刻所处的不同状态1f二、单摆1.定义:在细线的一端拴一个小球,另一端固定在悬点上,如果细线的 质量与小球相比可以忽略,球的直径与 线的长度相比也可以忽略,这样的装置叫做单摆。 2.视为简谐运动的条件: θ5°。3.回复力:F=-G2=-Gsinθ=- x。mgl4.周期公式:T=2π 。lg5.单摆的等时性:单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g,与振幅和振子(小球)质量都没有关系。三、受迫振动及共振1.受迫振动(1)概念:系统在 驱动力作用下的振动。(2)振动特征:受迫振动的频率等于 驱动力的频率,与系统的固有频率无关。2.共振(1)概念:驱动力的频率等于系统的 固有频率时,受迫振动的振幅最大的现象。(2)共振条件:驱动力的频率等于系统的 固有频率。(3)特征:共振时 振幅最大。(4)共振曲线:如图所示。1.判断下列说法对错。(1)简谐运动是匀变速运动。 (✕)(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。 (√)(3)振幅等于振子运动轨迹的长度。 (✕)(4)简谐运动的回复力可以是恒力。 (✕)(5)弹簧振子每次经过平衡位置时,位移为零、动能最大。 (√)(6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。 (✕)2.一质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法正确的是 (B) A.质点的振动频率是4HzB.在10s内质点经过的路程是20cmC.第4s末质点的速度为零D.在t=1s和t=3s两时刻,质点的位移大小相等、方向相同3.(多选)关于受迫振动和共振,下列说法正确的是 (BCD)A.火车过桥时限制速度是为了防止火车发生共振B.若驱动力的频率为5Hz,则受迫振动稳定后的振动频率一定为5HzC.当驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大D.一个受迫振动系统在非共振状态时,同一振幅对应的驱动力频率一定有两个E.受迫振动系统的机械能守恒考点一简谐运动考点突破简谐运动的五大特征受力特征回复力F=-kx,F(或a)的大小与x的大小成正比,方向相反运动特征质点靠近平衡位置时,a、x都减小,v增大;远离平衡位置时,a、x都增大,v减小能量特征振动的能量包括动能Ek和势能Ep。在简谐运动过程中,系统的动能和势能相互转化,机械能守恒周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为 对称性特征质点经过关于平衡位置O对称的两点时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等;由对称点到平衡位置用时相等T2例1如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5πt)m。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6s时,小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g=10m/s2。以下判断正确的是(ab)(双选,填正确答案标号) a.h=1.7mb.简谐运动的周期是0.8sc.0.6s内物块运动的路程是0.2md.t=0.4s时,物块与小球运动方向相反解析由小物块的运动方程可知, =2.5πs-1,T=0.8s,故b正确。0.6s内物块运动了 个周期,故路程应为0.3m,c错。t=0.4s时物块运动了半2T34个周期,正向下运动,与小球运动方向相同,故d错。t=0.6s时,物块的位移y=-0.1m,小球下落距离H= gt2=1.8m,由题图可知,h=H+y=1.7m,故a正确。12考向1弹簧振子模型1.如图所示,弹簧振子在B、C间振动,O为平衡位置,BO=OC=5cm,若振子从B到C的运动时间是1s,则下列说法中正确的是 (D) A.振子从B经O到C完成一次全振动B.振动周期是1s,振幅是10cmC.经过两次全振动,振子通过的路程是20cmD.从B开始经过3s,振子通过的路程是30cm解析振子从B经O到C仅完成了半次全振动,所以其振动周期T=2×1s=2s,振幅A=BO=5cm。振子在一次全振动中通过的路程为4A=20cm,所以两次全振动中通过的路程为40cm,3s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30cm。综上可知,只有D项正确。考向2单摆模型2.如图所示,ACB为光滑弧形槽,弧形槽半径为R,C为弧形槽最低点,R≫ 。甲球从弧形槽的圆心处自由下落,乙球从A点由静止释放,问:(1)两球第1次到达C点所用的时间之比;(2)若在弧形槽最低点C的正上方h处由静止释放小球甲,让其自由下落,同时将乙球从圆弧左侧A点由静止释放,欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C相遇,则甲球下落的高度h是多少。AB︵答案(1)2 ∶π(2) (n=0,1,2,…)222(21)8nR解析(1)甲球做自由落体运动,有R= g 解得t1= 乙球沿弧形槽做简谐运动(由于 ≪R,可认为摆角θ5°),此模型与一个摆长为R的单摆模型相同,故等效摆长为R,因此乙球第1次到达C处所用的时间为1221t2RgAC︵t2= T= ×2π = 1414Rg2Rg所以t1∶t2=2 ∶π(2)甲球从离弧形槽最低点C的正上方h处自由下落,到达C点所用的时间为t甲= 由于乙球运动具有周期性,所以乙球到达C点所用的时间为22hgt乙= +n = (2n+1)(n=0,1,2,…)由于甲、乙两球在C点相遇,故t甲=t乙4T2T2Rg解得h= (n=0,1,2,…)22(21)8nR(1)由于简谐运动具有周期性、往复性、对称性,因此涉及简谐运动时,往往出现多解。分析此类问题时,应特别注意质点在某一位置时,位移是确定的,而速度不确定,时间也存在周期性。(2)相隔(2n+1) (n=1,2,3,…)的两个时刻,质点的位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度等大反向。T2方法总结考点二简谐运动的图像1.对简谐运动图像的认识(1)简谐运动的图像是一条正弦曲线,如图所示。 (2)图像反映的是位移随时间的变化规律。随时间的增加而延伸,不代表质点运动的轨迹。2.图像信息(1)由图像可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率。(2)由图像可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。(3)由图像可以确定某时刻质点的回复力、加速度的方向。因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度的方向在图像上总是指向t轴。(4)由图像可以确定某时刻质点速度的方向。速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定,若下一时刻位移增加,振动质点的速度方向就是背离平衡位置;若下一时刻位移减小,振动质点的速度方向就是指向平衡位置。(5)由图像可以比较不同时刻回复力、加速度的大小。(6)由图像可以比较不同时刻质点的动能、势能的大小。例2某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示,下列描述正确的是 (A)A.t=1s时,振子的速度为零,加速度为负的最大值B.t=2s时,振子的速度为负,加速度为正的最大值C.t=3s时,振子的速度为负的最大值,加速度为零D.t=4s时,振子的速度为正,加速度为负的最大值解析本题考查简谐运动图像。由图像可知,t=1s和t=3s时振子在最大位移处,速度为零,加速度分别为负向最大值、正向最大值;而t=2s和t=4s时振子在平衡位置,加速度为零,而速度分别为负向最大、正向最大。综上所述,A项说法正确。考向1对运动学特征的考查1.(多选)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图所示,则可知 ()A.两弹簧振子完全相同B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1C.振子甲速度为零时,振子乙速度最大D.两振子的振动频率之比f甲∶f乙=2∶1E.振子乙速度为最大时,振子甲速度不一定为零答案CE解析由题图可以看出,两弹簧振子的周期之比T甲∶T乙=2∶1,则频率之比f甲∶f乙=1∶2,D错误;弹簧振子的周期与振子质量、弹簧的劲度系数k有关,周期不同,说明两弹簧振子不同,A错误;由于弹簧的劲度系数k不一定相同,所以两弹簧振子所受回复力(F=-kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1,B错误;由简谐运动的特点可知,在振子到达平衡位置时,位移为零,速度最大,在振子到达最大位移处时,速度为零,从图像中可以看出,在振子甲到达最大位移处时,振子乙恰好到达平衡位置,故C正确;当振子乙到达平衡位置处时,振子甲有两个可能的位置,一个是最大位移处,一个是平衡位置处,故E正确。考向2对动力学特征的考查2.(多选)有一个在x方向上做简谐运动的物体,其振动图像如图所示。下列关于图甲、乙、丙、丁的判断不正确的是(选项中v、F、a分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度) (ABE) A.图甲可作为该物体的v-t图像B.图乙可作为该物体的F-t图像C.图丙可作为该物体的F-t图像D.图丙可作为该物体的a-t图像E.图丁可作为该物体的a-t图像解析因为F=-kx,a=- ,故题图丙可作为该物体的F-t、a-t图像;而v随x增大而减小,故题图乙可作为该物体的v-t图像。选项C、D正确,A、B、E错误。kxm(1)简谐运动的图像不是振动质点的轨迹,它表示的是振动质点的位移随时间变化的规律。(2)因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度在图像上总是指向t轴。(3)速度方向可以通过下一时刻位移的变化来判定,下一时刻位移如果增加,振动质点的速度方向就背离平衡位置;下一时刻的位移如果减小,振动质点的速度方向就指向平衡位置。方法总结考点三受迫振动和共振1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较自由振动受迫振动共振受力情况受回复力受驱动力作用受驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱T驱=T0或f驱=f0振动能量振动系统的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动系统获得的能量最大常见例子弹簧振子、单摆(θ5°)机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣2.受迫振动中系统能量的转化:受迫振动系统的机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换。3.对共振的理解——共振曲线:如图所示,横坐标为驱动力频率f,纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响,由图可知,f与f0越接近,振幅A越大;当f=f0时,振幅A最大。 1.(多选)(2018辽宁沈阳检测)某简谐振子,自由振动时的振动图像如图甲中实线所示,而在某驱动力作用下做受迫振动时,稳定后的振动图像如图甲中虚线所示,那么,此受迫振动对应的状态可能是图乙中的 (AD) A.a点B.b点C.c点D.一定不是c点解析设简谐振子自由振动时,周期为T1,而在某驱动力作用下做受迫振动时,周期为T2,显然T1T2,根据f= ,有f1f2;题图乙中c点处代表发生共振,驱动力频率等于固有频率f1;故此受迫振动对应的状态可能是图乙中的a点,一定不是c点,故选A、D。1T2.(多选)如图所示,A、B、C、D四个单摆的摆长分别为l、2l、l、 ,摆球的质量分