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第25讲图形的相似考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点一比例线段及其性质1.成比例线段的概念:若四条线段a,b,c,d满足a∶b=c∶d,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.其中a,d叫比例外项,b,c叫比例内项,特别地,当b与c相同时,即a∶b=b∶d时,称b是a,d的比例中项.2.比例的性质:(1)比例的基本性质:𝑎𝑏=𝑐𝑑⇔ad=bc(b,d≠0);反之也成立.(2)合比性质:𝑎𝑏=𝑐𝑑⇔𝑎±𝑏𝑏=𝑐±𝑑𝑑(b,d≠0).(3)等比性质:若𝑎1𝑏1=𝑎2𝑏2=…=𝑎𝑛𝑏𝑛=k(b1,b2,…,bn≠0),则𝑎1+𝑎2+…+𝑎𝑛𝑏1+𝑏2+…+𝑏𝑛=k(b1+b2+…+bn≠0).考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点四3.黄金分割:如图,点C把线段AB分成AC和BC(ACBC)两部分,若AC2=BC·AB,则把点C叫做线段AB的黄金分割点.其中比值≈0.618叫做黄金比.4.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边或其延长线所得三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.𝐴𝐶𝐴𝐵=5-12考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点二相似三角形1.相似三角形的定义:形状相似(即对应角相等,对应边成比例)的两个三角形叫做相似三角形,其对应边的比叫做相似比.2.相似三角形的性质:(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形的对应边上高的比、对应角平分线的比、对应边中线的比等于相似比;(3)相似三角形的周长比等于相似比;(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点四3.相似三角形的判定:(1)两个角对应相等的两个三角形相似;(2)两条边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)两个直角三角形,如果有斜边及一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似;(5)平行于三角形一边的直线截其他两边或其延长线所得的三角形与原三角形相似.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点三相似多边形1.相似多边形的定义:边数相同,且各角相等,各边对应成比例的两个多边形相似.2.相似多边形的性质:(1)相似多边形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似多边形的对应对角线的比等于相似比;(3)相似多边形的周长比等于相似比;(4)相似多边形的面积比等于相似比的平方.3.相似多边形的判定:根据定义,两个边数相同的多边形,如果对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形相似.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点四图形的位似1.位似的定义:如果两个相似图形的所有对应点的连线都经过同一点,那么就说这两个图形关于这一点位似,这一点叫做位似中心.这时,相似比又叫位似比.2.位似图形的画法:(1)找到位似中心;(2)连接原图形上各点与位似中心,并延长(扩大)或取分点(缩小)作出其对应点;(3)依次连接各对应点,即得.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4比例线段及其性质的应用比例的性质、平行线分线段成比例定理及其推论是学习相似图形的基础,需要熟练掌握.例1如图,已知直线a∥b∥c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=()A.7B.7.5C.8D.8.5答案B解析因为a∥b∥c,所以ACAE=BDBF,则44+6=3BF,解得BF=7.5.方法点拨在应用平行线分线段成比例定理时,要弄清对应线段的对应关系,写出比例式进行求解.同时,解题时还要注意应用比例的性质.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4相似三角形的判定和性质的应用相似三角形的性质为我们解决有关线段的比、多边形的周长比、面积比等问题提供了方法和依据.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例2(2015甘肃庆阳)如图,在△ABC中,两条中线BE,CD相交于点O,则S△DOE∶S△DCE=()A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.2∶3答案:B解析:∵在△ABC中,两条中线BE,CD相交于点O,∴DE是△ABC的中位线.∴△ODE∽△OCB.∴𝑂𝐷𝑂𝐶=12.∴𝑂𝐷𝐶𝐷=13.∵△DOE与△DCE等高,∴S△DOE∶S△DCE=OD∶CD=1∶3.方法点拨本题考查的是相似三角形的判定与性质,根据题意得出DE是△ABC的中位线是解答此题的关键.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4相似三角形的性质在实际问题中的应用根据实际问题背景建立相似三角形模型,是解决实际问题的关键.例3如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网4m的位置上,则球拍击球的高度h为.答案:1.5m解析:如图,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ACB.∴𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵,则44+3.5=0.8ℎ.∴h=1.5(m).考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法点拨把实际问题抽象成几何问题是解题的关键.此例中球拍和地面的垂线与球网构成了平行线,这样就得到了相似三角形,进而利用相似三角形的性质列式求解.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4图形的位似位似是特殊的相似,因此位似的性质的应用与相似是相同的.位似作图问题通常在网格中进行,需要准确找到位似中心和位似比,并要分清两个图形与位似中心的关系(反向位似和同向位似).考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例4如图,△ABC的顶点坐标分别为A(1,3),B(4,2),C(2,1).(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出A1,B1,C1的坐标;(2)以原点O为位似中心,在原点的另一侧画出△A2B2C2,使𝐴𝐵𝐴2𝐵2=12.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4解:(1)如图,A1(1,-3),B1(4,-2),C1(2,-1).(2)如图.方法点拨网格具有可操作性和直观性等特点.考题初做诊断1.(2017甘肃兰州)已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是(A)A.𝑥𝑦=32B.𝑥3=2𝑦C.𝑥𝑦=23D.𝑥2=𝑦3考题初做诊断2.(2017甘肃兰州)如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得EG=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为(A)A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米解析:由题意∠AGC=∠FGE.∵∠ACG=∠FEG=90°,∴△ACG∽△FEG,∴𝐴𝐶𝐸𝐹=𝐶𝐺𝐸𝐺,∴𝐴𝐶1.6=153,∴AC=8,∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5(米).故选A.考题初做诊断3.(2016甘肃平凉)如图,已知EC∥AB,∠EDA=∠ABF.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)求证:OA2=OE·OF.考题初做诊断证明:(1)∵EC∥AB,∴∠EDA=∠DAB.∵∠EDA=∠ABF,∴∠DAB=∠ABF,∴AD∥BC,∵DC∥AB,∴四边形ABCD为平行四边形.(2)∵EC∥AB,∴△OAB∽△OED,∴𝑂𝐴𝑂𝐸=𝑂𝐵𝑂𝐷.∵AD∥BC,∴△OBF∽△ODA,∴𝑂𝐵𝑂𝐷=𝑂𝐹𝑂𝐴,∴𝑂𝐴𝑂𝐸=𝑂𝐹𝑂𝐴,∴OA2=OE·OF.考题初做诊断4.(2017甘肃兰州)如图,△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,弦AF交BC于点E,延长BC到点D,连接OA,AD,使得∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)若☉O的半径为5,CE=2,求EF的长.考题初做诊断证明:∵BC是☉O的直径,∴∠BAF+∠FAC=90°.∵∠D=∠BAF,∠AOD=∠FAC,∴∠D+∠AOD=90°,∴∠OAD=90°,∴AD是☉O的切线.(2)解:连接BF,∵∠FAC=∠AOD,∴△ACE∽△OCA,∴𝐴𝐶𝑂𝐶=𝐴𝐸𝑂𝐴=𝐶𝐸𝐴𝐶,∴𝐴𝐶5=𝐴𝐸5=2𝐴𝐶,∴AC=AE=10,∵∠CAE=∠CBF,∠ACB=∠AFB,∴△ACE∽△BFE,∴𝐴𝐸𝐶𝐸=𝐵𝐸𝐸𝐹,∴102=8𝐸𝐹,∴EF=8105.