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第22讲与圆有关的计算考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点一弧长、扇形面积1.圆的周长:半径为r的圆的周长C=2πr.2.圆的面积:半径为r的圆的面积S=πr2.4.扇形面积公式:3.弧长公式:在半径为r的圆中,圆心角为n°的弧长l=𝑛π𝑟180.(1)在半径为r的圆中,圆心角为n°的扇形面积S扇形=𝑛π𝑟2360.(2)在半径为r的圆中,弧长为l的扇形面积S扇形=rl.12考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点二圆柱、圆锥的侧面积和全面积1.圆柱的侧面展开图:如图(1),圆柱的侧面展开图是矩形,其长为圆柱的底面周长,宽为圆柱的高.2.圆柱的侧面积:底面半径为r,高为h的圆柱的侧面积S侧面=2πrh.3.圆柱的全面积:S全=S底面+S侧面=2πr2+2πrh.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三4.圆锥的侧面展开图:如图(2),圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的半径为圆锥的母线长,扇形弧长为圆锥的底面周长.5.圆锥的侧面积:底面半径为r,母线长为R的圆锥的侧面积S侧面=πRr.6.圆锥的全面积:底面半径为r,母线长为R的圆锥的全面积S全=S底面+S侧面=πr2+πRr.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点三正多边形和圆1.正多边形的概念:各个角相等,各条边也都相等的多边形叫做正多边形.2.正多边形和圆的关系(1)每一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.其中,这两个圆的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径R叫做这个正多边形的半径,内切圆的半径r叫做这个正多边形的边心距,这个正多边形的一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角.(2)把一个圆n等分,顺次连接各分点,得到这个圆的内接正n边形;依次过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三3.正多边形的有关计算(1)定理:正n边形的半径和边心距把这个多边形分成2n个全等的直角三角形.(2)正n边形的中心角αn=360°𝑛;边长an、半径Rn、边心距rn之间满足关系式:𝑎𝑛22+𝑟𝑛2=𝑅𝑛2;面积Sn=12n·an·rn.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5有关弧长的计算问题把半径为r的圆周360等分,则每一份的弧所对的圆心角为1°,弧的长度为π𝑟180,因此n°圆心角所对的弧长为n×π𝑟180,即弧长l=𝑛π𝑟180.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例1如图,在三角板ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=6.三角板绕直角顶点C逆时针旋转,当点A的对应点A'落在AB边上时即停止转动,则点B转过的路径长为.答案2π解析由题意可知,点B经过的路径是半径为6、圆心角为60°的弧,则弧长方法点拨解决动点问题的关键是找到运动的点经过的路径,所在的圆的圆心是什么,半径是多少,转过的圆心角是多大,然后代入公式计算.l=60𝜋×6180=2π.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5有关扇形面积的计算1.把半径为r的圆面360等分,每一份就是圆心角为1°的扇形,其面积为π𝑟2360,因此圆心角为n°的扇形面积为S扇形=𝑛π𝑟2360.2.若半径为r的扇形弧长为l,则S扇形=12lr.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例2(2017广西贵港)如图,在扇形OAB中,C是OA的中点,CD⊥OA,CD与𝐴𝐵交于点D,以O为圆心,OC的长为半径作𝐶𝐸交OB于点E,若OA=4,∠AOB=120°,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)答案:4π3+23解析:连接OD,AD,∵点C为OA的中点,∴∠CDO=30°,∠DOC=60°,∴△ADO为等边三角形,∴S扇形AOD=60π×42360=8π3,∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COE-(S扇形AOD-S△COD)=120π×42360−120π×22360−8π3-12×2×23=16π3−4π3−8π3+23=4π3+23.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5圆锥的侧面积有关的计算圆锥是立体图形,其侧面展开图是扇形,计算其侧面积时,要找到圆锥的母线长和底面半径.例3(2017辽宁)如图,☉O的半径OA=3,OA的垂直平分线交☉O于B,C两点,连接OB,OC,用扇形OBC围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为.答案22考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5解析连接AB,AC,∵BC为OA的垂直平分线,∴OB=AB,OC=AC,∴OB=AB=OA,OC=OA=AC,∴△OAB和△AOC都是等边三角形,∴∠BOA=∠AOC=60°,∴∠BOC=120°,设圆锥的底面半径为r,则2πr=120𝜋×3180,解得r=1,这个圆锥的高为32-12=22,故答案为22.方法点拨解决本题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5正多边形的有关计算设正n边形的边长为an,半径为Rn,边心距为rn,中心角为αn,面积为Sn,周长为Pn,则Pn=nan,αn=360°𝑛,Sn=12Pn·rn.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例4如图,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为()A.6mmB.12mmC.63mmD.4mm考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5答案:C解析:画出正六边形,如图,由题意BN=3,∠BON=30°,则ON=33,所以MN=63,选C.方法点拨正多边形的有关计算最终都落实到如图所示的Rt△AON中,利用解直角三角形的有关知识来解决.其中AB为正多边形的边长,OA为其半径,OM为其边心距,∠AOB为其中心角.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5阴影部分面积的计算阴影部分常常是不规则图形,解题的依据是:一个图形的面积等于它被分成的几个图形面积的和.例5(2018重庆)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)答案:6-π解析:S阴影=S矩形-S四分之一圆=2×3-14π×22=6-π.方法点拨用矩形的面积减去四分之一圆的面积即可求得阴影部分的面积.解决不规则图形面积问题的关键是进行适当的割补,把它分成一些能求面积(规则图形)或已知面积的图形面积的和或差.考题初做诊断1.(2017甘肃兰州)如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=(B)3A.2πB.83πC.43πD.38π考题初做诊断解析:如图,假设线段CD,AB交于点E,∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∴CE=ED=23.又∵∠BCD=30°,∴∠DOE=2∠BCD=60°,∠ODE=30°,∴OE=DE·tan30°=23×33=2,OD=2OE=4,∴BE=2,∴S阴影=S扇形ODB-S△DOE+S△BEC=60π×𝑂𝐷2360−12OE·DE+12BE·CE=8π3-23+23=8π3.故选B.考题初做诊断2.(2015甘肃兰州)如图,☉O的半径为2,AB,CD是互相垂直的两条直径,点P是☉O上任意一点(P与A,B,C,D不重合),过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥CD于点N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周转过45°时,点Q走过的路径长为(A)A.π4B.π2C.π6D.π3考题初做诊断解析:连接OP,由题意可知四边形MONP是矩形,可得MN=PO=2,在Rt△OMN中Q是MN的中点,∴OQ=12MN=1,∴点Q在以O为圆心,1为半径的圆周上.∴点Q走过的路径长为45×π·1180=π4.考题初做诊断3.(2015甘肃庆阳)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=22,若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周,则所得几何体的表面积为82π(结果保留π).解析:过点C作CD⊥AB于点D,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∴AB=2AC=4,∴CD=2,以CD为半径的圆的周长是4π.故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是:2×12×4π×22=82π.考题初做诊断4.(2015甘肃武威)如图,半圆O的直径AE=4,点B,C,D均在半圆上,若AB=BC,CD=DE,连接OB,OD,则图中阴影部分的面积为π.