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第20讲圆的有关概念及性质考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点一圆的有关概念和性质1.圆的定义:在同一平面内,一条线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭图形,叫做圆;直径等于半径的2倍.2.垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余的各组量也都相等.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二4.圆的对称性圆是轴对称图形,其对称轴是过圆心的直线,圆是旋转对称图形,其对称中心是圆心.5.三角形的外接圆、外心(1)确定圆的条件:①过不在同一直线上的三点确定一个圆;②已知圆心和半径;③已知直径.(2)三角形的外接圆、外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形,这个圆的圆心叫做三角形的外心.6.圆的内接多边形如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做这个圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.7.圆内接四边形的性质圆的内接四边形的对角互补,并且一个外角等于它的内对角.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点二圆周角与圆心角1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数.2.圆周角:顶点在圆上、两边分别和圆相交的角叫做圆周角,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.3.圆周角定理(圆周角和圆心角的关系):在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等,在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等;推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弧是半圆,所对的弦是直径.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3圆心角与圆周角的相关计算问题在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍.利用这个关系来解决的问题常常是:已知圆周角求圆心角或已知圆心角求圆周角,有时也结合勾股定理进行半径或直径的计算.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3例1(2018山东聊城)如图,在☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是()A.25°B.27.5°C.30°D.35°答案:D解析:∵∠A=60°,∠ADC=85°,∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,∴∠AOC=2∠B=50°,∴∠C=180°-95°-50°=35°.故选D.方法点拨直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC的度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3垂径定理及其推论的应用利用垂径定理和勾股定理相结合,进行有关弦、弦心距、半径(直径)的计算是中考中关注热度较大的题型.例2(2018河北张家界)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=()A.8cmB.5cmC.3cmD.2cm答案:A解析:∵弦CD⊥AB于点E,CD=8cm,∴CE=CD=4cm.在Rt△OCE中,OC=5cm,CE=4cm,∴OE=3cm,∴AE=AO+OE=5+3=8cm.故选A.12考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3方法点拨根据垂径定理可得出CE的长度,在Rt△OCE中,利用勾股定理可得出OE的长度,再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3例3(2018浙江杭州)如图,☉O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交☉O于B,C两点,则BC=()A.63B.62C.33D.32考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3答案:A解析:设OA与BC相交于D点.连接AB,OB.∵AB=OA=OB=6,∴△OAB是等边三角形.又根据垂径定理可得,OA平分BC,利用勾股定理可得BD=62-32=33,∴BC=63.故选A.方法点拨在应用垂径定理时,往往需要作垂直于弦的直径或半径,利用垂径定理及其推论和勾股定理达到解题的目的.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3圆的性质的综合应用圆的有关性质包括半径与直径的关系、圆心角与圆周角的关系,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆的对称性等.题型有有关圆的角度的计算,圆的内接三角形的相关计算,直径(半径)、弦、弦心距的计算问题,往往综合性较大.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3例4(2018浙江衢州)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是()A.3cmB.6cmC.2.5cmD.5cm考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3答案:D解析:连接OB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,BD=8cm,AE=2cm,在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2解得OE=3,∴OB=3+2=5,∴EC=5+3=8,在Rt△EBC中,BC=𝐵𝐸2+𝐸𝐶2=42+82=45,∵OF⊥BC,∴∠OFC=∠CEB=90°,∵∠C=∠C,∴△OFC∽△BEC,∴𝑂𝐹𝐵𝐸=𝑂𝐶𝐵𝐶,即𝑂𝐹4=545,解得OF=5,故选D.方法点拨根据垂径定理得出OE的长,进而利用勾股定理得出BC的长,再利用相似三角形的判定和性质解答即可.考题初做诊断1.(2018甘肃)如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°3考题初做诊断解析:连接DC,∵C(3,0),D(0,1),∴∠DOC=90°,OD=1,OC=3,∴∠DCO=30°,∴∠OBD=30°.故选B.考题初做诊断2.(2016甘肃兰州)如图,在☉O中,点C是的中点,∠A=50°,则∠BOC=(A)A.40°B.45°C.50°D.60°𝐴𝐵解析:在△OAB中,OA=OB,所以∠A=∠B=50°.根据题意得OC平分弦AB所对的弧,所以OC垂直平分弦AB,即∠BOC=90°-∠B=40°,故选A.考题初做诊断3.(2016甘肃兰州)如图,四边形ABCD内接于☉O,四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC=(C)A.45°B.50°C.60°D.75°解析:连接OB,则∠OAB=∠OBA,∠OCB=∠OBC,∵四边形ABCO是平行四边形,则∠OAB=∠OBC,∴∠ABC=∠OAB+∠OBC=∠AOC,∴∠ABC=∠AOC=120°,∠OAB=∠OCB=60°,连接OD,则∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,由四边形的内角和等于360°可知,∠ADC=360°-∠OAB-∠ABC-∠OCB-∠OAD-∠OCD,∴∠ADC=60°.考题初做诊断4.(2017甘肃武威)如图,△ABC内接于☉O,若∠OAB=32°,则∠C=58°.解析:连接OB,则OA=OB,所以∠OBA=∠OAB=32°,所以∠AOB=180°-2×32°=116°,因为∠AOB=2∠C,所以2∠C=116°,所以∠C=58°.考题初做诊断5.(2016甘肃平凉)如图,在☉O中,弦AC=23,点B是圆上一点,且∠ABC=45°,则☉O的半径R=6.解析:∵∠ABC=45°,∴∠AOC=90°,∵OA=OC=R,∴R2+R2=AC2=(23)2,解得R=6.