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第17讲直角三角形与锐角三角函数考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点一直角三角形的性质及判定性质(1)两锐角之和等于90°;(2)斜边上的中线等于斜边的一半;(3)30°角所对的直角边等于斜边的一半;(4)勾股定理:若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2;(5)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°判定(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形;(2)勾股定理的逆定理:若a2+b2=c2,则以a,b,c为边的三角形是直角三角形考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点二解直角三角形1.锐角三角函数(1)三角函数的定义及关系锐角三角函数的定义:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,正弦sinA=𝑎𝑐;余弦cosA=bc;正切tanA=ab;互余两角的三角函数关系:sin(90°-A)=cosA;cos(90°-A)=sinA.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二(2)特殊角的三角函数的值:角度三角函数30°45°60°sinα122232cosα322212tanα3313考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二2.解直角三角形及其应用(1)解直角三角形的类型:已知条件图形解法一直角边和一锐角(a,∠A)∠B=90°-∠A,c=a𝑠𝑖𝑛A,b=a𝑡𝑎𝑛A(或b=c2-a2)已知斜边和一个锐角(c,∠A)∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA(或b=c2-a2)已知两直角边(a,b)c=a2+b2,由tanA=ab求∠A,∠B=90°-∠A已知斜边和一条直角边(c,a)b=c2-a2,由sinA=ac求∠A,∠B=90°-∠A考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二(2)解直角三角形的实际应用:仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角(如图①)坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线的夹角α叫坡角,i=tanα=hl(如图②)方向角一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,如图③,A点位于O点的北偏东30°方向,B点位于O点的南偏东60°方向,C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法630°角所对直角边是斜边的一半含30°角的直角三角形具有特殊的性质:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.此结论是由等边三角形的性质推出,它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.注意:①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊性质,在非直角三角形或一般直角三角形中不能应用;②应用时,要注意找准30°的角所对的直角边,以及斜边.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6例1(2018广西)如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°,已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是m(结果保留根号)答案:403解析:由题意可得:∠BDA=45°,则AB=AD=120m,又∵∠CAD=30°,∴在Rt△ADC中,tan∠CAD=tan30°=𝐶𝐷𝐴𝐷=33,解得:CD=403(m).考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6方法点拨在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.本性质适用的大前提是“在直角三角形中”.在题中如果有一个30°的角,而无直角时,必须依条件构造符合性质特征的直角三角形,才能由角的大小关系,得出边的倍分关系.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6直角三角形的性质和判定例2(2018广西柳州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sinB==()𝐴𝐶𝐴𝐵A.35B.45C.37D.34答案:A解析:∵∠C=90°,BC=4,AC=3,∴AB=5,∴sinB=𝐴𝐶𝐴𝐵=35,故选A.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6方法点拨直角三角形中线段和角之间的数量关系(1)边:直角三角形的三边满足勾股定理,是计算线段长度的重要工具,有时也用于证明线段相等;(2)角:直角三角形的两锐角互余,可用来计算角的大小,也是证明角相等的重要工具;(3)斜边中线:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半也是几何证明或计算的重要工具.直角三角形的判定方法主要利用定义,即证明一个角是直角.另外还有两种方法:一是勾股定理的逆定理,即证明“a2+b2=c2”,则∠C=90°;二是利用“若三角形一边上的中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形”这一判定方法,但这一方法不常用.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6锐角三角函数值的求法例3(2018山东德州)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是.答案:55解析:∵AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,则sin∠BAC=𝐵𝐶𝐴𝐵=55.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6方法点拨格点图中求某个角的三角函数值的方法通常的做法是构造合适的直角三角形,然后根据格点来表示出各边的长,从而求出相应的三角函数值.在构造直角三角形时需注意,通常我们要去求的边或角不要分割,另外就是构造的直角三角形的边尽可能的是整个的格点数,这样便于我们求值.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6有关特殊角三角函数值的计算例4(2018四川达州)计算:(-2)2-(π-7)0+|3-2|+2sin60°解:原式=4-1+(2-3)+2×32,=4-1+2-3+3,=5.方法点拨1.本题考查实数的运算、指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值,解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.这是核心素养中数学运算的基本要求.2.特殊角的锐角三角函数值要记熟,或者把特殊角放置到直角三角形中利用相关定理与性质直接推导计算也可;3.a-p=1𝑎𝑝(a≠0,p为正整数);a0=1(a≠0).考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6锐角三角函数的应用例5(2018重庆)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45)()A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6答案:A解析:作BM⊥ED交ED的延长线于点M,CN⊥DM于点N.在Rt△CDN中,∵𝐶𝑁𝐷𝑁=10.75=43,设CN=4k,DN=3k,∵CD=10,∴(3k)2+(4k)2=100,∴k=2,∴CN=8,DN=6,∵四边形BMNC是矩形,∴BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,∵在Rt△AEM中,tan24°=𝐴𝑀𝐸𝑀,∴0.45=8+𝐴𝐵66,∴AB=21.7(米),故选A.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6方法点拨求直角三角形中某锐角的三角函数值,常需利用勾股定理求出有关边长,有时还要通过作高把非直角三角形中的边和角转化到直角三角形中.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6解直角三角形的实际应用例6(2018山东烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速,如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40千米/小时.数学实践活动小组设计了如下活动:在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速,在l外取一点P,作PC⊥l,垂足为点C.测得PC=30米,∠APC=71°,∠BPC=35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6解:在Rt△APC中,AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87,在Rt△BPC中,BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21,则AB=AC-BC=87-21=66,∴该汽车的实际速度为666=11m/s,又∵40km/h≈11.1m/s,∴该车没有超速.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6方法点拨1.解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决.2.一般过程是:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形,转化为解直角三角形问题).(2)先根据题目已知特点选用适当锐角三角函数(或边角关系)去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.考题初做诊断1.(2018甘肃)计算:2sin30°+(-1)2018-(12)-1=0.解析:2sin30°+(-1)2018-(12)-1=2×12+1-2=1+1-2=0考题初做诊断2.(2014甘肃天水)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在方格的格点上,则cosA=.255解析:如图,由勾股定理得AC=25,AD=4,cosA=𝐴𝐷𝐴𝐶=425=255,故答案为255.考题初做诊断3.(2017甘肃武威)如图是一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折叠:使点A与点B重合,则折痕长等于___cm.154解析:取AB的中点M,过点M作MN⊥AB交AC于点N,因为AC=8cm,BC=6cm,所以AB=10cm,则AM=5cm,tanA=𝑀𝑁𝐴𝑀=𝐵𝐶𝐴𝐶,𝑀𝑁5=68,则MN=154cm.考题初做诊断4.(2017甘肃天水)一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处,点A与灯塔P的距离为20海里,它向东航行到达灯塔P南偏西45°方向上的B处,求轮船航行的距离AB.(结果保留根号)考题初做诊断解:如图,过P作PC⊥AC交AB延长线于点C,则∠APC=60°,∠BPC=45°,AP=20,在Rt△APC中,∵cos∠APC=𝑃𝐶𝐴𝑃,∴PC=20·cos60°=10,∴AC=202-102=103,在△