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第16讲等腰三角形考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点一等腰三角形定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形性质(1)两腰相等,两底角相等;(2)顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合;(3)是轴对称图形,有一条对称轴判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形;(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点二等边三角形定义三边都相等的三角形叫做等边三角形性质(1)三边相等;(2)三角相等而且每一个角都等于60°;(3)是轴对称图形,有三条对称轴判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点三线段垂直平分线定义经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫这条线段的垂直平分线,简称线段的中垂线性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等判定到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4等腰三角形的概念和性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形具有性质:①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两个底角相等;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.注意:在等腰、底边上的高、底边上的中线、顶角平分线四个元素中,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素为结论.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例1(2017北京)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC.证明∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.∵BD平分∠ABC交AC于点D,∴∠ABD=∠DBC=36°,∠BDC=72°,∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C,∴AD=BD=BC.方法点拨等腰三角形的性质,既涉及角相等又涉及线段相等,为证明线段和角的关系增添了又一理论根据.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.注意:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既可作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆.③判定定理在同一个三角形中才能适用.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例2(2018广西桂林)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是.答案:3解析:∵AB=AC,∠A=36°∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠ACB=180°-36°2=72°,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=36°,∴在△ABD中,∠A=∠ABD=36°,AD=BD,△ABD是等腰三角形,在△ABC中,∠C=∠ABC=72°,AB=AC,△ABC是等腰三角形,在△BDC中,∠C=∠BDC=72°,BD=BC,△BDC是等腰三角形,所以共有3个等腰三角形.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法点拨首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数,然后根据等腰三角形的判定:等角对等边解答,做题时要注意,从最明显的找起,由易到难,不重不漏.本题体现了数形结合和分类讨论的思想.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4等边三角形的判定和性质1.等边三角形是一种非常特殊的几何图形,它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同时等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质,解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.2.等边三角形的特性如:三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.3.等边三角形判定最复杂,在应用时要抓住已知条件的特点,选取恰当的判定方法,一般地,若从一般三角形出发可以通过三条边相等或三个角相等判定;若从等腰三角形出发,则想办法获取一个60°的角判定.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例3(2017山东淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=.答案:23解析:如图,过点A作AG⊥BC于点G,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∴AG=32AB=23.连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴12AB·DE+12AC·DF=12BC·AG.∵AB=AC=BC=4,∴DE+DF=AG=23.方法点拨解决与等边三角形有关的问题时应注意挖掘等边三角形所隐含的相等的边和角的关系,学会添加辅助线,领悟转化思想.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4线段垂直平分线的性质和判定定义:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称“中垂线”.性质:(1)垂直平分线垂直且平分其所在线段;(2)垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等;(3)三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫做三角形的外心,并且这一点到三个顶点的距离相等.判定:到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例4(2018湖北襄阳)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为()A.16cmB.19cmC.22cmD.25cm答案:B解析:∵DE垂直平分线段AC,∴DA=DC,AE=EC=3cm,∵AB+AD+BD=13cm,∴AB+BD+DC=13cm,∴△ABC的周长=AB+BD+DC+AC=13+6=19cm,故选B.12考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法点拨本题考查作图-基本作图,线段垂直平分线的性质和应用.解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质,属于中考常考题型.由此要掌握:(1)垂直平分线垂直且平分其所在线段;(2)垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等;(3)三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等.考题初做诊断1.(2018甘肃兰州)边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,则△ADE的面积是(A)A.3B.32C.334D.23考题初做诊断2.(2013甘肃武威)等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为4,6或5,5.解析:因为不知6为底长还是腰长,所以要分情况讨论.若6为腰,则底边长为16-6×2=4,另一腰长为6;若6为底,则两腰长均为(16-6)÷2=5.考题初做诊断3.(2016甘肃定西)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,若AB=6cm,则AC=6cm.解析:如图,延长原矩形的边,∵矩形的对边平行,∴∠1=∠ACB,由翻折变换的性质得,∠1=∠ABC,∴∠ABC=∠ACB,∴AC=AB,∵AB=6cm,∴AC=6cm.考题初做诊断4.(2014甘肃白银)等腰三角形ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是8cm.解析:如图,AD是BC边上的高线.∵AB=AC=10cm,BC=12cm,∴BD=CD=6cm,∴在直角三角形ABD中,由勾股定理得到AD=8cm.