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第14讲三角形的基本概念与性质考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点一三角形的分类及其性质三角形的分类按边分不等边三角形等腰三角形底和腰不相等的三角形等边三角形是等腰三角形的特例按角分锐角三角形直角三角形钝角三角形三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边内角和定理:三角形的内角和等于180°内外角关系(1)三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和(2)三角形的任意一个外角大于任何一个和它不相邻的内角考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点二三角形中的重要线段四线定义性质图形中线连接一个顶点与它对边中点的线段BD=DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC,即∠ADB=∠ADC=90°角平分线一个内角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段∠1=∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC,且DE=12BC考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4三角形的三边关系1.三角形三边关系:三角形两边之和大于第三边,三角形两边之差小于第三边.2.在运用三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形时,并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.3.在涉及三角形的边长或周长的计算时,注意最后要用三边关系去检验.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例1(2017浙江金华)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是()A.2,3,4B.5,7,7C.5,6,12D.6,8,10答案C解析根据三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,可得:选项A,2+34,能组成三角形;选项B,5+77,能组成三角形;选项C,5+612,不能组成三角形;选项D,6+810,能组成三角形,故选C.方法点拨三角形三边关系定理主要有三个作用,一是可以判断三条线段能否组成三角形,二是已知三角形两边确定第三边取值范围,三是证明线段之间的不等关系.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4三角形的内角和、外角的性质1.三角形的内角和是180°.2.三角形的外角性质:(1)三角形的外角和为360°.(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例2如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.解设∠1=∠2=x°,则∠3=∠4=2x°.∵∠BAC=63°,∴∠2+∠4=117°,即x+2x=117.解得x=39.∴∠3=∠4=78°.∴∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4三角形“三线”的性质三角形有三条中线,三条高线,三条角平分线,它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例3如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC交BC于点E.(1)∠B=30°,∠C=70°,求∠EAD的大小.(2)若∠B∠C,则2∠EAD与∠C-∠B是否相等?若相等,请说明理由.解:(1)∵∠B=30°,∠C=70°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.∵AE是角平分线,∴∠EAC=12∠BAC=40°.∵AD是高,∠C=70°,∴∠DAC=90°-∠C=20°.∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4(2)2∠EAD=∠C-∠B.理由如下,由(1)知,∠EAD=∠EAC-∠DAC=12∠BAC-(90°-∠C),把∠BAC=180°-∠B-∠C代入上式,整理得∠EAD=12∠C-12∠B,∴2∠EAD=∠C-∠B.方法点拨三角形的“三线”在解题中的重要作用三角形的高可以用来求三角形的面积,三角形的角平分线可以用来得到角相等和线段相等;三角形的中线把三角形的一边分成相等的两段,同时也把三角形分成面积相等的两部分.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4三角形的中位线性质如图,∵点D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC.用语言叙述为:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.12考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例4如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A,D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为.答案27解析点A,D关于点F对称,则AF=DF,因为FG∥CD,所以AG=CG=9.因为AE=BE,所以EG是△ABC的中位线,所以EG=BC=6.因为CE=CB=12,所以△CEG的周长为CG+EG+CE=9+6+12=27.12考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法点拨一般来说,题中涉及边的中点时,常联想到运用三角形的中位线性质,主要有两个作用,一是求线段的长,二是得出直线的平行关系,进一步得到角的数量关系.考题初做诊断1.(2017甘肃白银)已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为(D)A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.0解析:根据三角形的三边关系a+bc,c-ab,所以|a+b-c|-|c-a-b|=a+b-c+c-a-b=0,故答案选D.考题初做诊断2.(2018·甘肃)已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,c为奇数,则c=7.解析:∵a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,∴a-7=0,b-1=0,解得a=7,b=1,∵7-1=6,7+1=8,∴6c8,又∵c为奇数,∴c=7.考题初做诊断3.(2017甘肃张掖)如图,已知△ABC,请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF(不写作法,保留作图痕迹).解:如图,△ABC的一条中位线EF如图所示,方法:作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E,作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F.线段EF即为所求.