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第12讲二次函数考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理2.二次函数的平移由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定,所以两个二次函数如果a相等,那么其中一个图象可以由另一个图象平移得到.y=a(x-h)2+k移动方向平移后的解析式简记向左平移m个单位y=a(x-h+m)2+k左加向右平移m个单位y=a(x-h-m)2+k右减向上平移m个单位y=a(x-h)2+k+m上加向下平移m个单位y=a(x-h)2+k-m下减考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理3.抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bb=0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理4.二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的转化根的判别式的情况实数根的情况二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得一元二次方程ax2+bx+c=0b2-4ac0抛物线与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0).x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根b2-4ac=0抛物线与x轴有一个交点-b2a,0,x=-b2a是方程ax2+bx+c=0的两个相等的实数根,即x1=x2=-b2ab2-4ac0抛物线与x轴没有交点,即方程ax2+bx+c=0没有实数根考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6二次函数的概念变量y是x的二次函数的关键:化简后的关于自变量的代数式是整式,且x的最高指数为2,二次项的系数不能为0.例1若是二次函数,则m的值是()A.2B.0C.-2D.2或-2答案C解析根据题意有m2-2=2,且2-m≠0,故解得m=-2.误区警示二次函数中二次项系数不为0这个条件是不能忽略的.y=(2-m)𝑥𝑚2-2考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6二次函数的图象1.理解二次函数的图象的关键是要抓住抛物线的开口方向、对称轴的位置、顶点所在的象限、与y轴的交点坐标.2.根据抛物线在平面直角坐标系中的位置可确定a,b,c的符号,抛物线与x轴的交点个数决定b2-4ac的符号,在判断a+b+c,a-b+c等式子的值时,要分别抓住图象上的点(1,y),(-1,y)所在的位置.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6例2(2017贵州安顺)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac-b20;②3b+2c0;③4a+c2b;④m(am+b)+ba(m≠1),其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:C考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6解析:∵图象与x轴有两个交点,∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,∴b2-4ac0,∴4ac-b20,①正确;∵-𝑏2𝑎=-1,∴b=2a.∵a+b+c0,∴12b+b+c0,即3b+2c0,∴②正确;∵当x=-2或x=0时,y值相等,y0,∴4a-2b+c0,∴4a+c2b,③错误;∵由图象可知当x=-1时该二次函数取得最大值,∴a-b+cam2+bm+c(m≠-1).∴m(am+b)+ba,④正确.∴正确的有①②④3个.故选C.方法点拨由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac0,可判断①;根据-𝑏2𝑎=-1,得出b=2a,再根据a+b+c0,可得12b+b+c0,所以3b+2c0,可判断②;根据对称轴是x=-1,可得x=-2,0时,y的值相等,所以4a-2b+c0,可判断③;当x=-1时该二次函数取得最大值,据此可判断④.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6二次函数的性质1.结合开口方向、对称轴可理解二次函数的增减性;结合开口方向和顶点的纵坐标可理解二次函数的最值.2.已知点A(a,b)和B(c,b)是抛物线上两点,由于它们的纵坐标相同,所以,这条抛物线的对称轴是x=.𝑎+𝑐2考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6例3(2017甘肃天水)如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①abc0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);④当1x4时,有y2y1;⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确的结论是.(只填写序号)考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6答案:②⑤解析:由图象可知:a0,b0,c0,故abc0,故①错误;观察图象可知,抛物线与直线y=3只有一个交点,故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,故②正确;根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0),故③错误;观察图象可知,当1x4时,有y2y1,故④错误;因为当x=1时,y1有最大值,所以ax2+bx+c≤a+b+c,即x(ax+b)≤a+b,故⑤正确.所以②⑤正确,故答案为②⑤.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6确定二次函数的表达式1.用待定系数法确定二次函数表达式的关键是设出适合题意的表达式,这样也能优化解题过程.如果知道某抛物线的对称轴或最低(高)点,那么可设顶点式.2.确定抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)平移后的表达式的关键是抓住a的值不改变以及变化后的顶点的坐标.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6例4如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标.分析:(1)将点A,B代入抛物线y=-x2+ax+b,解得a,b可得解析式;(2)由C点横坐标为0可得P点横坐标,将P点横坐标代入(1)中抛物线解析式,易得P点坐标.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6解:(1)将点A,B代入抛物线y=-x2+ax+b可得0=-12+𝑎+𝑏,0=-32+3𝑎+𝑏,解得a=4,b=-3,∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.(2)∵点C在y轴上,∴点C横坐标x=0,∵点P是线段BC的中点,∴点P横坐标xP=0+32=32,∵点P在抛物线y=-x2+4x-3上,∴yP=-322+4×32-3=34,∴点P的坐标为32,34.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6二次函数、方程、不等式的联系1.从图象上看,一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以看作抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标,也可以看作抛物线y=ax2+bx与直线y=-c的交点的横坐标.2.从图象上看,不等式ax2+bx+c0(或0)的解集可以看作x轴上方(或下方)的抛物线对应的自变量的取值范围.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6例5(2018山东德州)如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是()分析:可先根据一次函数的图象判断a的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可.答案:B考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6二次函数的应用用二次函数解决实际问题中的最优化问题,如经济问题中的最大利润、运输中的最低费用、几何问题中的最大面积等,其实质就是利用函数的图象和性质求函数的最大值或最小值,其关键是将实际问题“数学化”,即吃透题意,确定变量,建立函数模型.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6例6某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;当每件的销售价每增加1元时,每天的销售数量将减少10件.(1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销售数量为件;(2)当每件的销售价x为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y最大?并求出最大利润.分析:(1)根据“当每件的销售价每增加1元时,每天的销售数量将减少10件”,即可解答;(2)根据等量关系“利润=(售价-进价)×销量”列出函数关系式,根据二次函数的性质,即可解答.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6解:(1)由题意得:200-10×(52-50)=200-20=180(件),故答案为180.(2)由题意得:y=(x-40)[200-10(x-50)]=-10x2+1100x-28000=-10(x-55)2+2250,当x=55时,ymax=2250,故每件销售价为55元时,获得最大利润;最大利润为2250元.方法点拨本题考查了二次函数的应用,根据实际意义列出二次函数解析式,利用顶点坐标求最值.考题初做诊断1.(2017甘肃兰州)抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为(A)A.y=3(x-3)2-3B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3D.y=3x2-6解析:由题知,y=3x2-3为顶点式,直接根据二次函数图象左加右减,上加下减平移规律进行解答即可.故选A.考题初做诊断2.(2016甘肃兰州)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=-1,有以下结论:①abc0;②4acb2;③2a+b=0;④a-b+c2.其中正确的结论的个数是(C)A.1B.2C.3D.4解析:①a0,b0,c0,故正确;②抛物线与x轴有两个交点,故正确;③对称轴x=-1化简得2a-b=0故错误;④当x=-1时所对的y值2,故正确.考题初做诊断3.(2018甘肃武威)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab0;②2a+b=0;③3a+c0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当-1x3时,y0,其中正确的是(A)A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤考题初做诊断解析:∵抛物线的开口向下,∴a0,抛物线的对称轴x=-𝑏2𝑎=10,可知b0,故①正确;∵抛物线的对称轴x=-𝑏2𝑎=1,∴b=-2a,即2a+b=0,故②正确;由图象知当x=3时,y=9a+3b+c0,把b=-2a代入得,3a+c0,故③错误;当x=1时,y取最大值,则a+b+c≥am2+bm+c,则m(am+b)≤a+b,故④正确;由图象可知,当-1x3时,函数图象有些部分位于x轴下方,故⑤错误.故选A.考题初做诊断4.(2016甘肃兰州)二次函数y=x2+4x-3的最小值是-7.解析:本题考查二次函数最值问题,可将其化为顶点式y=(x+2)2-7.考题初做诊断5.(2016甘肃天水)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,则下列结论:①abc0;②𝑏2-4𝑎𝑐4𝑎0;③ac-b+1=0;④OA·OB=-𝑐𝑎.其中正确结论的序号