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第9讲平面直角坐标系与函数的概念考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理函数自变量的取值范围与函数值函数值概念:一般地,设在一个变化过程中有两个变量𝑥,𝑦,如果对于𝑥在它允许取值范围内的每一个值,𝑦都有唯一确定的值与它对应,那么就说𝑥是自变量,𝑦是𝑥的函数.如果当𝑥=𝑎时,𝑦=𝑏,那么𝑏叫做当自变量的值为𝑎时的函数值温馨提示:函数的值是唯一确定的,但对应的自变量的值可以是多个.函数值的取值范围是随自变量的取值范围的变化而变化的考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4平面直角坐标系内点的坐标特征例1在平面直角坐标系中,点P(-2,x2+1)所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:∵x2≥0,∴x2+1≥1,∴点P(-2,x2+1)在第二象限.故选B.方法点拨本题考查了点的坐标,记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4点的坐标规律探究此类题型有助于培养同学们的观察和归纳能力,解决此类题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.例2(2018广东广州)在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点O出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1m.其行走路线如图所示,第1次移动到A1,第2次移动到A2,……第n次移动到An,则△OA2A2018的面积是()A.504m2B.10092m2C.10112m2D.1009m2考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4答案:A解析:由题意知OA4n=2n,∴OA2016=1008,∴A2A2018=1009-1=1008,则△OA2A2018的面积是12×1×1008=504(m2),故选A.方法点拨解决这类问题首先要通过作图研究坐标的变化规律,找到坐标的变化规律后再依据规律解答.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4函数图象的应用对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.函数的图象以几何形式直观地表示变量间的对应关系,在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形,分析两变量的相互关系,结合题意寻找对应的现实情境.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4例3(2018内蒙古通辽)小刚从家去学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车匀速行驶一段时间后到达学校,小刚从家到学校行驶路程s(单位:m)与时间t(单位:min)之间函数关系的大致图象是()考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4答案:B解析:根据题意得:小刚从家到学校行驶路程s(单位:m)与时间t(单位:min)之间函数关系的大致图象是,故选B.方法点拨利用函数关系和图象分析解决实际问题,要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数,要看清横坐标和纵坐标表示的是哪两个变量,探求变量和函数之间的变化趋势,仔细观察图象(直线或曲线)的“走势”特点,合理地分析变化过程,准确地结合图象解决实际问题.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法4函数自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫做自变量的取值范围.例4(2018江苏无锡)函数y=2𝑥4-𝑥中自变量x的取值范围是()A.x≠-4B.x≠4C.x≤-4D.x≤4答案:B解析:由题意得,4-x≠0,解得x≠4.方法点拨函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.在一个函数关系式中,同时有几种代数式,函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分,通常通过列不等式组来解决.考题初做诊断1.(2017甘肃白银)如图①,在边长为4的正方形ABCD中,点P以每秒2厘米的速度从点A出发,沿AB→BC的路径运动,到点C停止.过点P作PQ∥BD,PQ与边AD(或边CD)交于点Q,PQ的长度y(厘米)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示.当点P运动2.5秒时,PQ的长是(B)A.22厘米B.32厘米C.42厘米D.52厘米考题初做诊断2.(2016甘肃白银)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BC=4,点P是△ABC边上一动点,沿B→A→C的路径移动,过点P作PD⊥BC于点D,设BD=x,△BDP的面积为y,则下列能大致反映y与x函数关系的图象是(B)考题初做诊断3.(2015甘肃庆阳)函数y=1-2𝑥𝑥的自变量x的取值范围是x≤且x≠0.4.(2016甘肃天水)函数y=𝑥𝑥+1中,自变量x的取值范围是x-1.5.(2015甘肃甘南)将点A(2,1)向上平移3个单位长度得到点B的坐标是(2,4).12解析:根据题意得x≠0且1-2x≥0,所以x≤12且x≠0.故答案为x≤12且x≠0.解析:根据题意得x+10,解得x-1.解析:原来点的横坐标是2,纵坐标是1,向上平移3个单位长度得到新点的横坐标不变,纵坐标为1+3=4.即该坐标为(2,4).故答案填(2,4).