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第8讲一元一次不等式(组)及其应用考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5不等式的性质运用不等式的基本性质解题时要注意与等式的基本性质的区别与联系,特别强调:在不等式两边都乘或除以一个负数时,不等号的方向要改变.例1若mn,下列不等式不一定成立的是()A.m+2n+2B.2m2nC.𝑚2𝑛2D.m2n2答案:D方法点拨不等式的基本性质是不等式变形的依据,是我们应掌握的基本知识.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5在数轴上表示不等式(组)的解在数轴上表示不等式的解集,“”“≥”向右画;“”“≤”向左画;“≥”“≤”要用实心圆点表示;“”“”要用空心圆点表示.解一元一次不等式组,把每个不等式的解集在数轴上表示出来时,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例2(2018广西桂林)解不等式5𝑥-13x+1,并把它的解集在数轴上表示出来.分析:先去分母,再去括号,移项,合并同类项,把x的系数化为1,并在数轴上表示出来即可.解:去分母得,5x-13(x+1),去括号得,5x-13x+3,移项得,5x-3x3+1,合并同类项得,2x4,把x的系数化为1得,x2.在数轴上表示为:方法点拨确定解集定边界点时要注意,点是实心还是空心;包含区域是左侧还是右侧.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5不等式(组)的解法熟练掌握不等式的基本性质是正确地解一元一次不等式的基础.解不等式的一般步骤与解方程的步骤相同.但要特别注意“不等式两边同乘(或除以)一个负数时,必须改变不等号的方向”,这是一个难点和易错点.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例3(2018江苏扬州)不等式组3𝑥+1≥5𝑥,𝑥-12-2的解集为.分析:先求出每个不等式的解集,再根据口诀求出不等式组的解集即可.答案:-3x≤12解析:解不等式3x+1≥5x,得x≤12,解不等式𝑥-12-2,得x-3,则不等式组的解集为-3x≤12,故答案为-3x≤12.方法点拨解不等式组的思路可以归纳为“分开解,合着判”.求解集过程可以借助口诀:大大取大,小小取小,大小小大中间找,大大小小找不着(无解).考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5确定方程或不等式(组)中字母的取值(范围)不等式组中字母系数取值(范围)的确定,关键是要弄清不等式组解集的意义,掌握不等式组解集的确定方法.我们首先要把所给不等式(组)化成最简形式,再根据所给解集逆向确定字母系数的取值(范围).考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例4若关于x的一元一次不等式组6-3(𝑥+1)𝑥-9,𝑥-𝑚-1的解集是x3,则m的取值范围是()A.m4B.m≥4C.m4D.m≤4答案:D解析:6-3(𝑥+1)𝑥-9,①𝑥-𝑚-1,②∵解不等式①得x3,解不等式②得xm-1,又∵关于x的一元一次不等式组6-3(𝑥+1)𝑥-9,𝑥-𝑚-1的解集是x3,∴m-1≤3,解得m≤4,故选D.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5方法点拨根据不等式(组)的解集确定待定系数的取值范围,解决此类问题时,一般先求出含有字母系数的不等式(组)的解集,再根据已知不等式(组)的解集情形,求出字母的取值范围.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5不等式的应用一元一次不等式在实际生活中有着广泛的应用,解此类实际问题时,需从题目中捕捉不等关系的词语(如:不足、至少、不少(多)于、不超过、不低于等),用不等式将它们表示出来,通过解不等式找出符合题意的解.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例5如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明,妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷,她再将卡片以每张15元的价格贩售.若利润等于收入扣掉成本,且成本只考虑设计费与印刷费,则她至少需印多少张卡片,才可使得卡片全部售出后的利润超过成本的2成?()A.112B.121C.134D.143考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5分析:设妮娜需印x张卡片,根据利润=收入-成本,结合利润超过成本的2成,即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出x的取值范围,取其内最小的整数即可得出结论.答案:C解析:设妮娜需印x张卡片,根据题意得:15x-1000-5x0.2(1000+5x),解得x133,∵x为整数,∴x≥134.答:妮娜至少需印134张卡片,才可使得卡片全部售出后的利润超过成本的2成.13考题初做诊断1.(2016甘肃天水)若点P(a,4-a)是第一象限的点,则a的取值范围是0a4.解析:∵点P(a,4-a)是第一象限的点,∴𝑎0,4-𝑎0,解得0a4.故答案为0a4.考题初做诊断2.(2018甘肃)如图,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象相交于点P(n,-4),则关于x的不等式2x+m-x-20的解集为-2x2.解析:∵一次函数y=-x-2的图象过点P(n,-4),∴-4=-n-2,解得n=2,∴P(2,-4).又∵y=-x-2与x轴的交点是(-2,0),∴关于x的不等式2x+m-x-20的解集为-2x2.故答案为-2x2.考题初做诊断3.(2017甘肃武威)解不等式组12(𝑥-1)≤1,1-𝑥2,并写出该不等式组的最大整数解.解:解12(x-1)≤1得x≤3,解1-x2得x-1.则不等式组的解集是-1x≤3.∴该不等式组的最大整数解为x=3.考题初做诊断4.(2015甘肃甘南州)解不等式组4𝑥+61-𝑥,3(𝑥-1)≤𝑥+5,并把解集在数轴上表示出来.解:4𝑥+61-𝑥,①3(𝑥-1)≤𝑥+5,②由不等式①移项,得4x+x1-6,整理,得5x-5,解得x-1,由不等式②去括号,得3x-3≤x+5,移项,得3x-x≤5+3,合并,得2x≤8,解得x≤4,则不等式组的解集为-1x≤4.在数轴上表示不等式组的解集如图所示,考题初做诊断5.(2016甘肃天水)解不等式组2(𝑥-1)≤3𝑥+1,①12𝑥≤8-32𝑥,②并把解集在数轴上表示出来.解:由①得,x≥-3,由②得,x≤4,故不等式的解集为-3≤x≤4.在数轴上表示不等式组的解集如图所示,考题初做诊断6.(2017甘肃天水)天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元.(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?考题初做诊断解:(1)设购买A型公交车每辆需x万元,购买B型公交车每辆需y万元,由题意得𝑥+2𝑦=400,2𝑥+𝑦=350,解得𝑥=100,𝑦=150.答:购买A型公交车每辆需100万元,购买B型公交车每辆需150万元.(2)设购买A型公交车a辆,则B型公交车(10-a)辆,由题意得100𝑎+150(10-𝑎)≤1220,60𝑎+100(10-𝑎)≥650,解得285≤a≤354,因为a是整数,所以a=6,7,8,则10-a=4,3,2.三种方案:①购买A型公交车6辆,B型公交车4辆:100×6+150×4=1200万元;②购买A型公交车7辆,B型公交车3辆:100×7+150×3=1150万元;③购买A型公交车8辆,B型公交车2辆:100×8+150×2=1100万元.则购买A型公交车8辆,B型公交车2辆费用最少,最少总费用为1100万元.