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第7讲分式方程及其应用考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3解分式方程解分式方程的基本思路就是将分式方程转化为整式方程,通常可采用方程两边同乘最简公分母的方式进行,有些繁杂的方程可采用换元法.例1(2018四川成都)分式方程𝑥+1𝑥+1𝑥-2=1的解是()A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=-3答案:A解析:𝑥+1𝑥+1𝑥-2=1,去分母,方程两边同时乘x(x-2)得:(x+1)(x-2)+x=x(x-2),x2-x-2+x=x2-2x,x=1,经检验,x=1是原分式方程的解,故选A.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3方法点拨解分式方程首先要把分式方程转化为整式方程.解分式方程时必须注意以下两点:(1)去分母时,要将最简公分母乘每一个式子,不要“漏乘”;(2)解分式方程时必须检验,检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可.若能使最简公分母为0,则该解是原方程的增根.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3分式方程的增根利用增根求分式方程中字母的值:(1)确定增根;(2)将原分式方程化成整式方程;(3)将增根代入变形后的整式方程,求出字母的值.例2(2018山东潍坊)当m=时,解分式方程会出现增根.答案:2解析:分式方程可化为:x-5=-m,由分母可知,分式方程的增根是3,当x=3时,3-5=-m,解得m=2,故答案为2.方法点拨分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的过程中出现的使分式方程的分母为0的未知数的值,它满足变形所得的整式方程,但不满足分式方程.在解决与增根有关的问题时,应先将分式方程去分母,转化为整式方程,再将可能为增根的未知数的值代入,即可求出待定字母的值.𝑥-5𝑥-3=𝑚3-𝑥考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3分式方程的应用解题步骤同其他方程的应用一样.但在列分式方程解应用题时必须做好两个检验,既要检验是否为原方程的根,又要检验是否符合题意.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3例3(2018山西)2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列车时速更快,安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的(两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.45考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3解:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时,则“和谐号”列车的行驶时间需要54x小时.根据题意,得500𝑥=50054𝑥+40,解得x=52,经检验,x=52是原分式方程的解,∴x+16=83.答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要83小时.方法点拨根据速度=路程÷时间和“复兴号”列车平均每小时比“和谐号”列车多行驶40千米,即可得出关于x的分式方程,列分式方程解决实际问题.与整式方程一样,关键是找到“等量关系”,将实际问题抽象为方程问题.列出方程,注意分式方程不要忘记检验.考题初做诊断1.(2018甘肃)若分式𝑥2-4𝑥的值为0,则x的值是(A)A.2或-2B.2C.-2D.02.(2018甘肃兰州)关于x的分式方程2𝑥+𝑎𝑥+1=1的解为负数,则a的取值范围为(D)A.a1B.a1C.a1且a≠-2D.a1且a≠2解析:2𝑥+𝑎𝑥+1=1方程两边都乘(x+1)去分母,得2x+a=x+1,x=1-a,若方程的解为负数,则1-𝑎0,1-𝑎≠-1,所以a1且a≠2.故选D.考题初做诊断3.(2016甘肃白银)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器,根据题意,下面所列方程正确的是(A)A.800𝑥+50=600𝑥B.800𝑥-50=600𝑥C.800𝑥=600𝑥+50D.800𝑥=600𝑥-504.(2015甘肃甘南州)若分式𝑥2-2𝑥-3𝑥+1的值为0,则x的值为3.5.(2015甘肃武威)分式方程2𝑥=5𝑥+3的解是x=2.解析:方程的两边同乘x(x+3),得2(x+3)=5x,解得x=2,检验:把x=2代入x(x+3)=10≠0,即x=2是原分式方程的解.考题初做诊断6.(2014甘肃天水)若关于x的方程𝑎𝑥+1𝑥-1-1=0有增根,则a的值为-1.解析:方程两边都乘(x-1),得ax+1-(x-1)=0,∵原方程有增根,∴最简公分母x-1=0,即增根为x=1,把x=1代入整式方程,得a=-1.