搜索
第4讲二次根式考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点一二次根式的概念1.概念:式子(a≥0)叫做二次根式.注意:二次根式具有双重非负性:即≥0,a≥0.2.二次根式的几个重要性质:𝑎𝑎𝑎(1)(𝑎)2=a(a≥0).(2)𝑎2=|a|=a(a≥0),-a(a0).(3)𝑎𝑏=a·b(a≥0,b≥0).(4)𝑎𝑏=ab(a≥0,b0).3.最简二次根式:最简二次根式必须同时满足以下两个条件:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式.(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点二二次根式的运算1.二次根式的加减:先将二次根式化简,再将同类二次根式进行合并,合并的方法与合并同类项法则相同.2.二次根式的乘除:注意:二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去(分母有理化)这一方法进行.如:.3.二次根式的混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减.二次根式运算的结果一定要化成最简二次根式或整式.(1)乘法法则:𝑎·𝑏=ab(a≥0,b≥0).(2)除法法则:𝑎𝑏=ab(a≥0,b0).32=3×22×2=62考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是被开方数要大于或等于0.例1(2017四川绵阳)使代数式有意义的整数x有()A.5个B.4个C.3个D.2个答案B解析由题意,得x+30且4-3x≥0,解得-3x≤,整数有-2,-1,0,1,故选B.方法点拨根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0,列不等式组求解.431𝑥+3+4-3𝑥考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5二次根式的性质例2若实数m,n满足(m-1)2+n+2=0,则(m+n)5=.答案-1解析由题意知,m,n满足(m-1)2+n+2=0,∴m-1=0,n+2=0,∴m=1,n=-2,∴(m+n)5=(1-2)5=-1.方法点拨此题主要考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5最简二次根式与同类二次根式先将所给的二次根式化成最简二次根式,再根据同类二次根式得到被开方数相同可得出所求字母的值.例3(2018山东烟台)12与最简二次根式5𝑎+1是同类二次根式,则a=.答案:2解析:∵12与最简二次根式5𝑎+1是同类二次根式,且12=23,∴a+1=3,解得a=2.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5方法点拨1.判断同类二次根式的步骤:先把所有的二次根式化成最简二次根式;再根据被开方数是否相同来加以判断.要注意同类二次根式与根号外的因式无关.2.最简二次根式的简易判断方法:凡根号里有小数点、分数线、根号的都不是最简二次根式,被开方数中不能含有开得尽方的因数(式).考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5二次根式的运算例4(2018天津)计算(6+3)(6−3)的结果等于.答案:3解析:(6+3)(6−3)=(6)2-(3)2=6-3=3.例5(2018陕西)计算:(-3)×(-6)+|2-1|+(5-2π)0解:原式=3×6+2-1+1=32+2-1+1=42.方法点拨二次根式的运算首先要注意运算顺序,其次要掌握好运算法则,运算结果一定要化成最简二次根式或整式,整式运算中的乘法公式继续使用.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5化简求值二次根式的化简求值常涉及最简根式、同类二次根式、分母有理化等二次根式的重要概念.例6(2018山东聊城)下列计算正确的是()A.310-25=5B.711×117÷111=11C.(75−15)÷3=25D.1318-389=2考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5答案:B解析:A.310与-25不是同类二次根式,不能合并,此选项错误;B.711×117÷111=711×117×11=711×117×11=11,此选项正确;C.(75−15)÷3=(53−15)÷3=5-5,此选项错误;D.1318-389=2-22=-2,此选项错误.故选B.方法点拨本题考查了二次根式的加、减、乘、除等运算,解答本题的关键是根据题目所给的运算法则计算.考题初做诊断1.(2016甘肃白银)下列根式中是最简二次根式的是()A.23B.3C.9D.122.(2014甘肃天水)要使式子𝑥-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≥1B.x1C.x≤1D.x≠13.(2014甘肃白银)下列计算错误的是()A.2×3=6B.2+3=5C.12÷3=2D.8=22BAB4.(2018甘肃)使得代数式1𝑥-3有意义的x的取值范围是.答案:x3解析:∵代数式1𝑥-3有意义,∴x-30,∴x3.考题初做诊断5.(2015甘肃庆阳)函数y=1-2𝑥𝑥的自变量x的取值范围是.x≤12且x≠06.(2017甘肃天水)若式子𝑥+2𝑥有意义,则x的取值范围是.答案:x≥-2且x≠0解析:根据题意,得𝑥+2≥0,𝑥≠0,解得x≥-2且x≠0.7.(2014甘肃张掖)已知x,y为实数,且y=𝑥2-9−9-𝑥2+4,则x-y=.答案:-1或-7解析:由题意得x2-9=0,解得x=±3,∴y=4,∴x-y=-1或-7.