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第3讲分式考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点一分式的概念与基本性质1.分式的概念:形如𝐴𝐵(A,B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子叫做分式.2.与分式𝐴𝐵有关的“三个条件”(1)分式𝐴𝐵无意义的条件是B=0;(2)分式𝐴𝐵有意义的条件是B≠0;(3)分式𝐴𝐵值为零的条件是A=0,B≠0.3.分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不为零的整式,分式的值不变.用式子表示是:𝐴𝐵=𝐴×𝑀𝐵×𝑀;𝐴𝐵=𝐴÷𝑀𝐵÷𝑀(其中M是不等于0的整式).考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二4.分式的约分与通分(1)约分:根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式约去,叫做分式的约分.约分的结果必须是最简分式或整式.(2)通分:根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母的分式,这种变形叫分式的通分.通分的关键是确定最简公分母.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点二分式的运算加减运算同分母的分式相加减:𝑎𝑐±𝑏𝑐=𝑎±𝑏𝑐异分母的分式相加减:𝑎𝑏±𝑐𝑑=𝑎𝑑±𝑏𝑐𝑏𝑑乘除运算:𝑎𝑏×𝑐𝑑=acbd;𝑎𝑏÷𝑐𝑑=ab·dc=adbc乘方运算:𝑎𝑏𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛(n为整数)分式的混合运算步骤:先算乘除,再算加减,如有括号,先算括号里面的考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5分式有意义、无意义、值为零的条件分式有意义的条件是分母不为零,无意义的条件是分母为零,分式值为零的条件是分子为零且分母不为零.例1若分式1𝑥+2在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是()A.x-2B.x-2C.x=-2D.x≠-2答案:D解析:∵代数式1𝑥+2在实数范围内有意义,∴x+2≠0,解得x≠-2.故选D.方法点拨①分式无意义的条件:分母为零;②分式有意义的条件:分母不为零.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例2(2018山东滨州)若分式𝑥2-9𝑥-3的值为0,则x的值为.答案:-3解析:因为分式𝑥2-9𝑥-3的值为0,所以𝑥2-9𝑥-3=0,化简得x2-9=0,即x2=9.解得x=±3因为x-3≠0,即x≠3所以x=-3.故答案为-3.方法点拨分母不为零保证分式有意义,分子为零保证有意义的前提下值为零.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5分式的基本性质分式的基本性质是将分子与分母同乘(或除以)一个不为零的数或整式,分式的值不变.它是分式运算化简的基础.例3(2018四川南充)已知1𝑥−1𝑦=3,则代数式=2𝑥+3𝑥𝑦-2𝑦𝑥-𝑥𝑦-𝑦的值是()A.-72B.-112C.92D.34答案:D解析:∵1𝑥−1𝑦=3,∴𝑦-𝑥𝑥𝑦=3,∴x-y=-3xy,则原式=2(𝑥-𝑦)+3𝑥𝑦(𝑥-𝑦)-𝑥𝑦=-6𝑥𝑦+3𝑥𝑦-3𝑥𝑦-𝑥𝑦=-3𝑥𝑦-4𝑥𝑦=34.故选D.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5方法点拨根据分式的基本性质将1𝑥−1𝑦=3变形为𝑦-𝑥𝑥𝑦=3,因为xy≠0,所以x-y=-3xy,整体代入原式,计算可得.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5分式的约分与通分分式的约分与通分的依据是分式的基本性质,约分的关键是找到公因式,通分的关键是找到最简公分母.例4(2018甘肃天门)化简:4𝑎+4𝑏5𝑎𝑏·15𝑎2𝑏𝑎2-𝑏2.解:原式=4(𝑎+𝑏)5𝑎𝑏·15𝑎2𝑏(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)=12𝑎𝑎-𝑏.方法点拨1.分式约分的步骤:(1)找出分式的分子与分母的公因式,当分子、分母是多项式时,要先把分式的分子与分母分解因式;(2)约去分子与分母的公因式.2.求最简公分母的方法是:(1)将各个分母分解因式;(2)找各分母系数的最小公倍数;(3)找出各分母中不同的因式,相同因式中取次数最高的.满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5分式的运算分式乘除运算时一般都化为乘法来做,其实质是约分的过程;异分母分式加减过程的关键是通分化为同分母分式,实数的运算律在分式运算中依然适用.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5例5(2018河北)老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:接力中,自己负责的一步出现错误的是()A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁答案:D解析:∵𝑥2-2𝑥𝑥-1÷𝑥21-𝑥=𝑥2-2𝑥𝑥-1·1-𝑥𝑥2=𝑥2-2𝑥𝑥-1·-(𝑥-1)𝑥2=𝑥(𝑥-2)𝑥-1·-(𝑥-1)𝑥2=-(𝑥-2)𝑥=2-𝑥𝑥.∴出现错误是在乙和丁,故选D.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5方法点拨根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算,注意提取-1时别忘了“-”号,约分时看对公因式.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5分式的化简求值分式化简求值题要先确定运算顺序,再根据分式的加、减、乘、除运算法则运算,最后再把相关字母的值代入,但要注意整体代入思想的运用.例6(2018广西玉林)先化简再求值:𝑎-2𝑎𝑏-𝑏2𝑎÷𝑎2-𝑏2𝑎,其中a=1+2,b=1-2.解:原式=𝑎2-2𝑎𝑏+𝑏2𝑎·𝑎𝑎2-𝑏2=(𝑎-𝑏)2𝑎·𝑎(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)=𝑎-𝑏𝑎+𝑏,当a=1+2,b=1-2时,原式=222=2.方法点拨根据分式的运算法则将原式中的括号内的项通分相减,除法转化为乘法,分子可化为完全平方式,分母用平方差公式分解因式,约分得到最简结果.代入a,b的值计算即可求出值.考题初做诊断1.(2018甘肃)若分式𝑥2-4𝑥的值为0,则x的值是(A)A.2或-2B.2C.-2D.0解析:∵分式𝑥2-4𝑥的值为0,∴x2-4=0,解得x=2或x=-2.故选A.2.(2013甘肃天水)已知分式𝑥2-1𝑥+1的值为零,则x的值是1.3.(2014甘肃白银)化简:𝑥2𝑥-2+42-𝑥=x+2.4.(2018甘肃)计算:𝑏𝑎2-𝑏2÷𝑎𝑎-𝑏-1.解:原式=𝑏(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)÷𝑎𝑎-𝑏-𝑎-𝑏𝑎-𝑏=𝑏(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)÷𝑎-𝑎+𝑏𝑎-𝑏=𝑏(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)·𝑎-𝑏𝑏=1𝑎+𝑏.考题初做诊断5.(2015甘肃武威)先化简,再求值:𝑥2-2𝑥+1𝑥2-1÷1-3𝑥+1,其中x=0.解:原式=(𝑥-1)2(𝑥+1)(𝑥-1)÷𝑥+1𝑥+1-3𝑥+1=(𝑥-1)2(𝑥+1)(𝑥-1)·𝑥+1𝑥-2=𝑥-1𝑥-2当x=0时,原式=𝑥-1𝑥-2=12.6.(2015甘肃甘南)已知x-3y=0,求2𝑥+𝑦𝑥2-2𝑥𝑦+𝑦2·(x-y)的值.解:∵x-3y=0,∴x=3y,原式=2𝑥+𝑦(𝑥-𝑦)2·(x-y)=2𝑥+𝑦𝑥-𝑦,当x=3y时,原式=2𝑥+𝑦𝑥-𝑦=2×3𝑦+𝑦3𝑦-𝑦=7𝑦2𝑦=72.7.(2017甘肃天水)先化简,再求值:1-1𝑥+2÷𝑥2+2𝑥+1𝑥+2,其中x=3-1.解:1-1𝑥+2÷𝑥2+2𝑥+1𝑥+2=𝑥+2-1𝑥+2×𝑥+2(𝑥+1)2=1𝑥+1,当x=3-1时,原式=1𝑥+1=33.考题初做诊断8.(2016甘肃天水)先化简,再求值:𝑥3-4𝑥𝑥2+4𝑥+4÷1-2𝑥,其中x=2sin60°-1.解:原式=𝑥(𝑥+2)(𝑥-2)(𝑥+2)2÷𝑥-2𝑥=𝑥(𝑥+2)(𝑥-2)(𝑥+2)2·𝑥𝑥-2=𝑥2𝑥+2,当x=2sin60°-1=2×32-1=3-1时,原式=𝑥2𝑥+2=(3-1)23-1+2=33-5.