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第2讲整式运算及因式分解考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点一代数式1.定义:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数字或表示数字的字母连接而成的式子,单独的一个数或一个字母也是代数式.2.代数式的值:用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算关系计算所得的结果.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点二整式1.整式包括单项式和多项式.(1)只表示数字与字母的积的代数式叫做单项式,单项式中的数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数的和叫做单项式的次数.(2)几个单项式的和叫做多项式,组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项,多项式的每一项都要带着前面的符号.2.同类项:(1)定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,常数项都是同类项.(2)合并同类项法则:把同类项的系数相加,所得的和作为合并后的系数,字母和字母的指数不变.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三3.整式的运算(1)加减:①去括号与添括号:a+(b+c)=a+b+c,a-(b+c)=a-b-c.a+b+c=a+(b+c),a-b-c=a-(b+c).②整式加减的步骤是先去括号,再合并同类项.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三(2)乘法:①单项式乘单项式:把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.②单项式乘多项式:m(a+b+c)=ma+mb+mc.③多项式乘多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.④乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三(3)除法:①单项式除以单项式,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.②(am+bm)÷m=a+b.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三(4)幂的运算(a≠0,b≠0,m,n,p为正整数)同底数幂相乘am·an=am+n同底数幂相除am÷an=am-n幂的乘方(am)n=amn积的乘方(ambnc)p=ampbnpcp商的乘方𝑏𝑎𝑛=bnan零指数幂a0=1负整数指数幂a-p=1ap=1ap考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考点必备梳理考点一考点二考点三考点三因式分解1.定义:把一个多项式化为几个整式积的形式,叫做把一个多项式因式分解.2.因式分解的常用方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)运用公式法:a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)2.3.因式分解的一般步骤:(1)一提:如果多项式的各项有公因式,那么要先提公因式.(2)二用:如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式法或分组分解法来分解.(3)三查:分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5根据几何图形列代数式列代数式就是把问题中图形表示数量关系用代数式表示出来.例1(2018浙江衢州)有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,对于方案一,小明是这样验证的:a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程.方案二:方案三:考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5解:由题意可得,方案二:a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2,方案三:a2+[𝑎+(𝑎+𝑏)]𝑏2+[𝑎+(𝑎+𝑏)]𝑏2=a2+ab+12b2+ab+12b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.方法点拨认真观察图形特点,根据题目中每个图形的摆放方法,可以写出方案二和方案三的推导过程.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5代数式求值求代数式的值的步骤是先化简,再代入求值.例2(2017河南)先化简,再求值:(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),解原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy=9xy.当x=2+1,y=2-1时,原式=9xy=9(2+1)(2-1)=9.其中x=2+1,y=2-1.方法点拨先根据整式的运算法则化简后再代入求值.如果字母取值是分数或负数时,那么做乘方运算或者性质符号前有运算符号的都必须加上小括号.运算时要弄清楚运算符号,注意运算顺序.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5幂的运算幂的运算包括同底数幂的乘法、除法,积的乘方,幂的乘方,零指数、负整数指数等运算法则,既可顺用,也可逆用.例3(2018山东滨州)下列运算:①a2·a3=a6,②(a3)2=a6,③a5÷a5=a,④(ab)3=a3b3,其中结果正确的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:①a2·a3=a6是同底数幂的乘法应用,计算错误;②(a3)2=a6是幂的乘方应用;③a5÷a5=a是同底数幂的除法应用,计算错误;④(ab)3=a3b3是积的乘方应用.方法点拨本题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方,熟练掌握幂的运算法则和性质是解题的关键.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5整式的运算整式的运算涉及去括号、合并同类项、多项式乘法、乘法公式、幂的运算等知识点,要注意掌握法则,注意运算顺序.例4(2018吉林)某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,解答过程如下:原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步)=a2+2ab-a2-b2(第二步)=2ab-b2(第三步)(1)该同学解答过程从第步开始出错,错误原因是;(2)写出此题正确的解答过程.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5解:(1)该同学解答过程从第二步开始出错,错误原因是去括号时没有变号;故答案是:(1)二;(2)去括号时没有变号;(2)原式=a2+2ab-(a2-b2)=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2.方法点拨此题考查了整式运算中去括号、合并同类项,熟练掌握运算法则是解本题的关键.考点必备梳理考法必研突破考题初做诊断考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5因式分解因式分解最常用的方法是提取公因式法和运用公式法.分解因式不彻底是因式分解常见错误之一,分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验.例5(2017贵州黔东南)在实数范围内因式分解:x5-4x=.答案x(x2+2)(x+2)(x-2)解析原式=x(x4-22)=x(x2+2)(x2-2)=x(x2+2)(x+2)(x-2).方法点拨因式分解时首先要分析多项式的特点,选择合适的分解方法,其结果要分解到每一个因式不能再分解为止.口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶.考题初做诊断1.(2017甘肃庆阳)下列计算正确的是()A.x2+x2=x4B.x8÷x2=x4C.x2·x3=x6D.(-x)2-x2=02.(2015甘肃甘南)下列运算中,结果正确的是()A.x3·x3=x6B.3x2+2x2=5x4C.(x2)3=x5D.(x+y)2=x2+y23.(2015甘肃天水)定义运算:ab=a(1-b).下面给出了关于这种运算的几种结论:①2(-2)=6,②ab=ba,③若a+b=0,则(aa)+(bb)=2ab,④若ab=0,则a=0或b=1.其中结论正确的序号是()A.①④B.①③C.②③④D.①③④DAA考题初做诊断4.(2018甘肃白银)下列计算结果等于x3的是()A.x6÷x2B.x4-xC.x+x2D.x2·xD解析:A.x6÷x2=x4,不符合题意;B.x4-x不能再计算,不符合题意;C.x+x2不能再计算,不符合题意;D.x2·x=x3,符合题意.故选D.5.(2018甘肃兰州)因式分解x2y-y3=y(x+y)(x-y).5.(2018甘肃兰州)因式分解x2y-y3=y(x+y)(x-y).6.(2016甘肃庆阳)如果单项式2xm+2nyn-2m+2与x5y7是同类项,那么nm的值是.13考题初做诊断7.(2016甘肃白银)分解因式:2a2-8=.8.(2015甘肃甘南)分解因式:ax2-ay2=.9.(2014甘肃白银)分解因式:2a2-4a+2=.10.(2014甘肃张掖)观察下列各式:13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102…猜想13+23+33+…+103=.2(a+2)(a-2)a(x+y)(x-y)2(a-1)2552