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专题四数学文化题型分类突破素养训练提高解题知识解读题型概述方法指导数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成和发展.数学作为一种文化现象,早已是人们的常识.在近几年的中考中,以数学文化为载体的数学题越来越多,需要我们平时注意积累和了解这方面的常识,安徽2017、2018连续两年都有考查,2019考查的可能性很大.题型分类突破素养训练提高解题知识解读题型概述方法指导解题时注意审题,实现载体与考点地有效转化,透过现象看本质,问题便可迎刃而解.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三考查类型年份、题号考查点1.以数学名著为题材2018,162017,16取材于《孙子算经》中的一个问题,考查用一元一次方程解决问题取材于《九章算术》中的一个问题,考查用一元一次方程解决问题2.以科技或数学时事为题材安徽中考未出现3.以数学名人为题材安徽中考未出现题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三类型一以数学名著为题材例1(2018·安徽,16)见正文P14第3题例2(2017·湖北宜昌)阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c,称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为𝑎=12(𝑚2-𝑛2),𝑏=𝑚𝑛,𝑐=12(𝑚2+𝑛2).其中mn0,m,n是互质的奇数.应用:当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三分析:由n=1,得到a=(m2-1)①,b=m②,c=(m2+1)③,根据直角三角形有一边长为5,列方程即可得到结论.1212解:当n=1,a=12(m2-1)①,b=m②,c=12(m2+1)③,∵直角三角形有一边长为5,分类讨论:(1)当a=5时,12(m2-1)=5,解得:m=±11(舍去),(2)当b=5时,即m=5,代入①③得,a=12,c=13,(3)当c=5时,12(m2+1)=5,解得:m=±3,∵m0,∴m=3,代入①②得,a=4,b=3,综上所述,直角三角形的另外两条边长分别为12,13或3,4.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三类型二以科技或数学时事为题材例3(2017·云南,13)正如我们小学学过的圆锥体积公式V=πr2h(π表示圆周率,r表示圆锥的地面半径,h表示圆锥的高)一样,许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家,创造了当时世界上的最高水平,差不多过了1000年,才有人把π计算得更精确.在辉煌成就的背后,我们来看看祖冲之付出了多少.现在的研究表明,仅仅就计算来讲,他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算,包括开方在内.即使今天我们用纸笔来算,也绝不是一件轻松的事情,何况那时候没有现在的纸笔,数学计算不是用现在的阿拉伯数字,而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的,这需要怎样的细心和毅力啊!他这种严谨治学的态度,不怕复杂计算的毅力,值得我们学习.13题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三下面我们就来通过计算解决问题:已知圆锥的侧面展开图是个半圆,若该圆锥的体积等于9π,则这个圆锥的高等于()A.53πB.53C.33πD.333解析:如图,∵圆锥的侧面展开图是个半圆,∴设这个半圆的半径为R,AC=R,∴这个半圆的弧长为πR,设圆锥底圆的半径为r,则2πr=πR,得:R=2r,∴AC=2r,在由圆锥的母线AC=2r,圆锥的高AO和底面圆的半径OC=r组成的直角三角形中,通过勾股定理可得圆锥的高为:h=AO=·r,3∵圆锥的体积等于93π,∴13πr2·3r=93π,∴r=3,h=AO=3·r=33.D题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三例4(2017湖北随州)风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源,风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图1),图2是从图1引出的平面图.假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°,沿HA方向水平前进43米到达山底G处,在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置,此时测得叶片的顶端D(D、C、H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计),山高BG为10米,BG⊥HG,CH⊥AH,求塔杆CH的高.(参考数据:tan55°≈1.4,tan35°≈0.7,sin55°≈0.8,sin35°≈0.6)图1图2题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三分析:作BE⊥DH,知GH=BE,BG=EH=10,设AH=x,则BE=GH=43+x,由CH=AHtan∠CAH=tan55°·x,知CE=CH-EH=tan55°·x-10,根据BE=DE可得关于x的方程,解之可得.解:如图,作BE⊥DH于点E,则GH=BE,BG=EH=10,设AH=x,则BE=GH=GA+AH=43+x,在Rt△ACH中,CH=AHtan∠CAH=tan55°·x,∴CE=CH-EH=tan55°·x-10,∵∠DBE=45°,∴BE=DE=CE+DC,即43+x=tan55°·x-10+35,解得:x≈45,∴CH=tan55°·x=1.4×45=63,答:塔杆CH的高约为63米.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三类型三以数学名人为题材例5(2018·浙江湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:①将半径为r的☉O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个分点;②分别以点A,D为圆心,AC长为半径画弧,G是两弧的一个交点;③连接OG.问:OG的长是多少?大臣给出的正确答案应是()A.3rB.1+22rC.1+32rD.2r题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三解析:连接AD,AG,则AD经过点O.∵六个点等分圆,∴可求得AC=3r.∵△AOG是直角三角形,∴由勾股定理可知OG的长为(3𝑟)2-𝑟2=2r.故选D.答案:D题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三例6(2017·北京)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据该图完成这个推论的证明过程.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三证明:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+𝑆△𝐹𝐺𝐶),S矩形EBMF=S△ABC-(+).易知,S△ADC=S△ABC,=,=.可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.答案:S△AEF,S△FMC,S△ANF,S△AEF,S△FGC,S△FMC.题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234561.(2018·安徽名校联考二)《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”译文为:“有一个边长为1丈(1丈=10尺)的正方形水池,在水池正中央长有一根芦苇,芦苇露出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?”设这个水池的深度是x尺,根据题意,可列方程为(A)A.x2+52=(x+1)2B.x2+(0.5)2=(x+1)2C.(x-1)2+52=x2D.(x-1)2+0.52=x2题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234562.(2018·云南昆明)黄金分割数5-12是一个很奇妙的数,大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面.请你估算5-1的值(B)A.在1.1和1.2之间B.在1.2和1.3之间C.在1.3和1.4之间D.在1.4和1.5之间解析:∵253,∵2.22=4.84,2.32=5.29,∴2.252.3,∴2.2-15-12.3-1,即1.25-11.3,故选B.题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234563.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是25尺.题型分类突破素养训练提高素养训练提高123456解析:如图,一条直角边(即枯木的高)长20尺,另一条直角边长5×3=15(尺),因此葛藤长为202+152=25(尺).故答案为25.题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234564.(2018·合肥六大名校中考冲刺卷十)“杨辉三角形”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,如图是三角形数阵,记an为图中第n行各个数之和,则a5+a11的值为1040.解析:本题考查归纳与推理.第一行数字之和为1=21-1,第二行数字之和为2=22-1,第三行数字之和为4=23-1,第四行数字之和为8=24-1,…,第n行数字之和为2n-1,∴a5+a11=24+210=16+1024=1040.题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234565.(2017·安徽,16)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?译文为:现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则还差4元.问共有多少人?这个物品的价格是多少?请解答上述问题.解:设共有x人,价格为y元,依题意得:8𝑥-3=𝑦,7𝑥+4=𝑦,解得𝑥=7,𝑦=53,答:共有7个人,物品价格为53元.题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234566.(2018·蚌埠怀远模拟)《九章算术》中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”大意为:有个圆柱形木头,埋在墙壁中(如图所示),不知道其大小,用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头,锯口深1寸,锯道AB长度为1尺,问这块圆柱形木料的半径是多少寸?(注:1尺=10寸)题型分类突破素养训练提高素养训练提高123456解:∵AB⊥CD,∴AD=BD,∵AB=10,∴AD=5,在Rt△AOD中,∵OA2=OD2+AD2,∴OA2=(OA-1)2+52.∴OA=13.答:这块圆柱形木料的半径是13寸.