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专题三动点(面)问题题型分类突破素养训练提高解题知识解读题型概述方法指导“动点型问题”是指图形中存在一个或多个动点,它们是在某条线段、射线或弧线上运动的,从而引起另一图形的变化,从运动变化的角度来研究、探索发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理,是一类开放性题目.对考生的观察能力和创新能力要求较高,题目的难度一般比较大,是安徽省中考试题的热点题型.预计这类题仍然是2018年中考的热点,解决这类问题的关键是动中求静,在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.题型分类突破素养训练提高解题知识解读题型概述方法指导1.有特殊位置点的动点问题:本类型问题中的动点往往和某些定点构成特殊的位置关系,利用“三角形两边之和大于第三边”“两点之间线段最短”或“垂线段最短”等知识进行解题.2.几何图形中的动点问题:由动点引起某一线段长度变化(自变量),通过题目中提供的其他条件表示出另一线段或某一图形面积,从而构建两者之间的函数关系,再根据函数性质解题.3.函数图象中的动点问题:动点在某一函数图象上,当点运动到某一特殊位置时,某一线段长度或某一图形的面积达到最值,或与某些点构成一个特殊的图形;解题利用函数图象上点坐标的对应关系,用动点的坐标表示出要求图形的数量特征(如线段的长度或图形面积),再利用函数性质或方程进行求解.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三考查类型年份、题号考查点1.有特殊位置点的动点问题2017,102016,102015,20与AB平行且到AB距离为x的直线上,在此线上找一点到A,B两点距离之和的最小值动点和两定点形成三角形,利用“三角形两边之差小于第三边”求解,动点在直线上,定点在直线外,利用“垂线段最短”进行解题2.图形中动点问题2014,92012,9动点引起的两条变化的线段恰好是两相似三角形的两条边,利用相似形的性质构建函数关系动点引起某一线段长度的变化,用变化的线段作为自变量表示出要求的面积构建出函数进行解题题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三考查类型年份、题号考查点3.函数图象中的动点问题2016,222013,9用动点横坐标表示出面积构建出面积与横坐标的函数,再利用函数性质解题用动点横坐标表示要判断的线段或线段的乘积构建出函数,再利用函数性质或方程进行求解题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三类型一有特殊位置点的动点问题例1(2016·安徽安庆一模改编)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D是边AC的中点,点E是斜边AB上的动点,将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE.连接A1B,当点E在边AB上移动时,求A1B长的最小值.分析:由图可知动点A1和定点B,D构成一个三角形,当A1位于BD上时构成一条线段,根据这种特殊位置关系可得A1B≥BD-A1D,在Rt△BCD中求出BD的长,由折叠可得A1D=AD=1,便可求出A1B长的最小值.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三解:如图,连接BD,DE,在Rt△BCD中,BD=BC2+CD2=5,由折叠知△A1DE≌△ADE,所以A1D=AD=1.由A1B+A1D≥BD,得A1B≥BD-A1D=5-1.故A1B长的最小值是5-1.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三类型二图形中的动点问题例2(2018·合肥四十五中一模)如图(1),已知正方形ABCD,E是线段BC上一点,N是线段BC延长线上一点,以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG.图(1)图(2)(1)连接GD,求证:DG=BE;(2)连接FC,求∠FCN的度数;题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三(3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=m,BC=n(m、n为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变?若∠FCN的大小不变,请用含m、n的代数式表示tan∠FCN的值;若∠FCN的大小发生改变,请画图说明.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三(1)证明:∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD,∴∠BAE=∠DAG,∴△BAE≌△DAG.∴DG=BE.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三(2)解:作FH⊥BN于H,∵∠AEF=∠ABE=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,∴∠FEH=∠BAE,又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90°,∴△EFH≌△AEB,∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH,∴∠FCN=∠CFH=(180°-∠FHC).∵∠FHC=90°,∴∠FCN=45°.12题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三(3)解:当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变,理由如下:作FH⊥BN于H,由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°,结合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG,又∵G在射线CD上,∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°,∴△EFH≌△AGD,△EFH∽△AEB,∴EH=AD=BC=n,∴CH=BE,∴𝐸𝐻𝐴𝐵=𝐹𝐻𝐵𝐸=𝐹𝐻𝐶𝐻.在Rt△FEH中,tan∠FCN=𝐹𝐻𝐶𝐻=𝐸𝐻𝐴𝐵=𝑛𝑚,∴当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变,tan∠FCN=𝑛𝑚.题型分类突破素养训练提高题型分类突破类型一类型二类型三类型三函数图象中的动点问题例3(2016·安徽,22)见正文P39例1题型分类突破素养训练提高素养训练提高12341.(2018·天津)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是(D)A.ABB.DEC.BDD.AF题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234解析:本题考查正方形的性质,轴对称的性质,取CD中点E'连接AE'、PE',根据正方形是轴对称图形,可得EP=E'P,AF=AE',结合图形由线段构成公理可得AE'为AP+EP的最小值,进而可得结果.取CD中点E'连接AE'、PE',由正方形的轴对称性质,可知EP=E'P,AF=AE',∴AP+EP=AP+E'P,∴AP+EP最小值是AE',即AP+EP最小值是AF.故选D.题型分类突破素养训练提高素养训练提高12342.(2018·山东烟台)如图,矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动,同时点Q从点A出发,以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动,当一个点到达点C时,另一个点也随之停止.设运动时间为t(s),△APQ的面积为S(cm2),下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是(A)题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234解析:由题意得:AP=t,AQ=2t,①当0≤t≤4时,Q在边AB上,P在边AD上,如图1,S△APQ=12AP·AQ=12·t·2t=t2,故选项C、D不正确;②当4t≤6时,Q在边BC上,P在边AD上,如图2,S△APQ=12AP·AB=12t·8=4t,故选项B不正确;故选A.题型分类突破素养训练提高素养训练提高12343.(2018·四川攀枝花)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD,则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为42.题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234解析:设△PAB中AB边上的高是h,∵S△PAB=13S矩形ABCD,∴12AB·h=13AB·AD,∴h=23AD=2.∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作点A关于直线l的对称点A',连接AA',BA',则BA'即为所求的最短距离.在Rt△ABA'中,AB=4,AA'=2+2=4,∴BA'=𝐴𝐵2+𝐴𝐴'2=42+42=42,即PA+PB的最小值为42.题型分类突破素养训练提高素养训练提高12344.(2018·合肥高新区模拟)如图,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4).矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234①当t=52时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.解:(1)因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4),故可设其关系式为y=a(x-2)2+4,又∵抛物线经过O(0,0),∴得a(0-2)2+4=0,解得a=-1.∴所求函数关系式为y=-(x-2)2+4,即y=-x2+4x.(2)①点P不在直线ME上.根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0),又M的坐标为(2,4),设直线ME的关系式为y=kx+b.于是得4𝑘+𝑏=0,2𝑘+𝑏=0,解得𝑘=-2,𝑏=8.题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234所以直线ME的关系式为y=-2x+8.由已知条件易得,当t=52时,OA=AP=52,∴P52,52.∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.∴当t=52时,点P不在直线ME上.②S存在最大值.理由如下:∵点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,∴OA=AP=t.∴点P,N的坐标分别为(t,t),(t,-t2+4t),∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,∴PN=-t2+3t.题型分类突破素养训练提高素养训练提高1234(ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,∴S=12DC·AD=12×3×2=3.(ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形,∵PN∥CD,AD⊥CD,∴S=12(CD+PN)·AD=12[3+(-t2+3t)]×2=-t2+3t+3=-t-322+214,其中0t3,由a=-1,0323,此时S最大=214.综上所述,当t=32时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积有最大值,这个最大值为214.说明:(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合.