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第4讲二次根式考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点一二次根式的概念及性质1.概念一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开方数a必须是非负数.𝑎考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二2.最简二次根式(1)若二次根式满足:①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式.(2)化二次根式为最简二次根式的方法:①如果被开方数是分式或分数(包括小数),先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式,如果分母可以完全开得尽方,就把它开出来,如果开不尽方,就利用商的算术平方根的性质来化简,这样被开方数的因数就是整数,因式就是整式;②如果被开方数是整数或整式,先将它分解因数或分解因式,然后利用积的算术平方根的性质,把开得尽方的因数或因式开出来,从而将式子化简.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二3.性质(1)(𝑎)2=a(a≥0);(2)𝑎2=|a|=𝑎(𝑎≥0),-𝑎(𝑎0);(3)𝑎𝑏=a·b(a≥0,b≥0);(4)𝑎𝑏=ab(a≥0,b0).考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点二二次根式的运算1.加减运算(1)几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式.(2)二次根式加减时,先把二次根式化成最简二次根式,然后把同类二次根式合并.2.乘除运算3.二次根式的混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去括号).二次根式运算结果一定要化成最简二次根式或整式.(1)𝑎·𝑏=𝑎𝑏(a≥0,b≥0);(2)𝑎𝑏=ab(a≥0,b0).考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点1二次根式的运算1.(2016·安徽,15,8分)计算:(-2016)0+-83+tan45°.解:原式=1-2+1=0.2.(2015·安徽,2,4分)计算的结果是(B)A.10B.4C.6D.28×23.(2010安徽,11,5分)计算:3×6−2=.解析本题考查了二次根式的运算,先根据二次根式的乘法法则进行运算,再进行化简.=4,故选B.8×2=1622解析本题考查了二次根式的混合运算,先算乘法,再化简,最后合并.原式=3×6−2=32−2=22.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点2二次根式概念及性质4.(2013·安徽,11,5分)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是.1-3𝑥5.(2008·安徽,11,5分)化简(-4)2=4.x≤13解析根据二次根式的概念,被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.根据题意,得1-3x≥0,解得x≤.13解析根据二次根式的性质,𝑎2=|a|,有(-4)2=4.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法1二次根式及其性质例1(2018·山东日照)若式子𝑚+2(𝑚-1)2有意义,则实数m的取值范围是()A.m-2B.m-2且m≠1C.m≥-2D.m≥-2且m≠1答案:D解析:因为𝑚+2(𝑚-1)2有意义,所以m+2≥0且m-1≠0,解得m≥-2且m≠1,故选D.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2方法总结代数式有意义的条件(1)当代数式是分式时,要注意分式的分母不能为0.(2)当代数式是二次根式时,需注意被开方数的非负性.(3)当代数式是分式与二次根式结合型时,要注意同时满足分母不为0且被开方数大于或等于0.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练1(2018·江苏扬州)使𝑥-3有意义的取值范围是(C)A.x3B.x3C.x≥3D.x≠3对应练2(2018·四川绵阳)等式𝑥-3𝑥+1=𝑥-3𝑥+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为(B)解析:由等式𝑥-3𝑥+1=𝑥-3𝑥+1成立,可得𝑥-3≥0,𝑥+10,解得x≥3.故选B.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练3(2018·广东广州)如图,数轴上点A表示的数为a,化简:a+𝑎2-4𝑎+4=2.解析:由二次根式的性质“𝑎2=|a|”可得a+𝑎2-4𝑎+4=a+(𝑎-2)2=a+|a-2|,而0a2,即a-20,所以原式=a+2-a=2.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法2二次根式的运算例2(2016·山东青岛)计算=.答案2解析根据二次根式化简法则,先把分子化为最简二次根式,再合并同类二次根式,最后约分即可.方法总结二次根式的加减是把二次根式化为最简二次根式,合并其中的同类二次根式;对于不是同类二次根式的,则保留作为结果的一项即可.二次根式的乘除运算中,若式子符合整式的乘除的公式的特点,可使用整式的乘除的计算公式,使运算简便.32-8232-82=42-222=222=2.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练4(2018·上海)计算18−2的结果是(C)A.4B.3C.22D.2对应练5(2018·江苏南京)计算3×6−8的结果是2.对应练6计算(2+3)2-24=5.解析:原式=32-22=2,故填2.解析:先运用完全平方公式和将二次根式转化成最简二次根式,再进行计算.原式=2+26+3-26=5.