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第3讲分式考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点一分式的概念与基本性质1.概念形如(A,B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子叫做分式.2.与分式有关的“三个条件”𝐴𝐵(1)分式𝐴𝐵无意义的条件是B=0;(2)分式𝐴𝐵有意义的条件是B≠0;(3)分式𝐴𝐵值为零的条件是A=0,B≠0.3.基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不为零的整式,分式的值不变.用式子表示是:𝐴𝐵=𝐴×𝑀𝐵×𝑀,𝐴𝐵=𝐴÷𝑀𝐵÷𝑀(其中M是不等于0的整式).考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二4.分式的约分与通分(1)约分:根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式约去,叫做分式的约分.约分的结果必须是最简分式或整式.(2)通分:根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母的分式,这种变形叫分式的通分.通分的关键是确定最简公分母.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点二分式的运算1.加减运算同分母的分式相加减:𝑎𝑐±𝑏𝑐=𝑎±𝑏𝑐异分母的分式相加减:𝑎𝑏±𝑐𝑑=𝑎𝑑±𝑏𝑐𝑏𝑑2.乘除运算:𝑎𝑏×𝑐𝑑=acbd;𝑎𝑏÷𝑐𝑑=ab·dc=adbc3.乘方运算:𝑎𝑏𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛(n为整数)4.分式的混合运算步骤:先算乘除,再算加减,如有括号,先算括号里面的分式运算的结果必须是最简分式或整式.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点1分式的化简1.(2012·安徽,6,4分)化简的结果是(D)A.x+1B.x-1C.-xD.x𝑥2𝑥-1+𝑥1-𝑥命题点3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点22.(2015·安徽,15,8分)先化简,再求值:𝑎2𝑎-1+11-𝑎·1𝑎,其中a=-12.分析:先根据分式的基本性质进行化简,再代入求值.解:a2a-1+11-a·1a=a2a-1-1a-1·1a=(a+1)(a-1)a-1·1a=a+1a.当a=-12时,原式=-12+1-12=-1.命题点2分式的化简、求值命题点3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点3分式的运算3.(2018·安徽,18,9分)观察以下等式:第1个等式:11+02+11×02=1,第2个等式:12+13+12×13=1,第3个等式:13+24+13×24=1,第4个等式:14+35+14×35=1,第5个等式:15+46+15×46=1,……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:;(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解:(1)16+57+16×57=1(2)1𝑛+𝑛-1𝑛+1+1𝑛×𝑛-1𝑛+1=1证明:∵左边=1𝑛+𝑛-1𝑛+1+1𝑛×𝑛-1𝑛+1=𝑛+1+𝑛(𝑛-1)+𝑛-1𝑛(𝑛+1)=1,右边=1,∴左边=右边,∴原等式成立.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法1分式有意义、无意义、为零的条件例1(2018·湖北武汉)若分式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是()A.x-2B.x-2C.x=-2D.x≠-2答案:D解析:∵x+2≠0,∴x≠-2.故选D.1𝑥+2考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练1(2017·山东淄博)若分式的值为零,则x的值是(A)A.1B.-1C.±1D.2|𝑥|-1𝑥+1对应练2(2018·甘肃白银)使得代数式1𝑥-3有意义的x的取值范围是x3.对应练3(2018·山东滨州)若分式𝑥2-9𝑥-3的值为0,则x的值为-3.解析:分式的值为零,同时满足两个条件:分子等于零、分母不为零,即|x|-1=0且x+1≠0,所以x=1.解析:由代数式1𝑥-3有意义,得x-30,解得x3.故填:x3.解析:因为分式的值为0,所以x2-9=0且x-3≠0,所以x=-3.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法2分式的运算例2(2017·重庆B)计算:𝑎+2-3𝑎-4𝑎-2÷𝑎2-6𝑎+9𝑎-2=.答案:𝑎𝑎-3解析:原式=(𝑎+2)(𝑎-2)-(3𝑎-4)𝑎-2×𝑎-2(𝑎-3)2=𝑎2-3𝑎𝑎-2·𝑎-2(𝑎-3)2=𝑎(𝑎-3)𝑎-2·𝑎-2(𝑎-3)2=𝑎𝑎-3.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练4(2018·山东威海)化简(a-1)÷1𝑎-1·a的结果是(A)A.-a2B.1C.a2D.-1对应练5(2017·广西柳州)化简:1𝑥-12𝑥·x2=(D)A.-xB.1𝑥C.-𝑥22D.𝑥2解析:根据分式的运算法则进行运算时,要注意运算顺序.原式=(a-1)÷1-𝑎𝑎·a=(a-1)·𝑎1-𝑎·a=-a2.解析:原式=1𝑥·x2-12𝑥·x2=x-𝑥2=𝑥2.对应练6(2018·江苏泰州)化简:2-𝑥-1𝑥+1÷𝑥2+6𝑥+9𝑥2-1.解:原式=2(𝑥+1)-(𝑥-1)𝑥+1÷(𝑥+3)2(𝑥+1)(𝑥-1)=𝑥+3𝑥+1·(𝑥+1)(𝑥-1)(𝑥+3)2=𝑥-1𝑥+3.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法3分式的化简求值例3(2010·安徽)先化简,再求值:1-1𝑎-1÷𝑎2-4𝑎+4𝑎2-𝑎,其中a=-1.方法总结分式化简求值的一般步骤:(1)去括号,先计算括号内的分式运算,括号内若是异分母分式的加减运算,需通分化为同分母运算,再将分子合并同类项,去掉括号.(2)除法变乘法,利用分式除法运算法则,把除法运算转化为乘法运算.(3)计算分式乘法运算,要利用因式分解、约分来计算.(4)最后按照运算顺序,从左到右计算分式的加减,直到化为最简形式.(5)将所给数值代入求值,代入数值时要注意使原分式有意义.解:原式=𝑎-2𝑎-1·𝑎(𝑎-1)(𝑎-2)2=𝑎𝑎-2.当a=-1时,原式=-1-1-2=13.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练7(2018·湖北黄冈)若a-1𝑎=6,则a2+1𝑎2的值为8.对应练8(2011·安徽)先化简,再求值:1𝑥-1−2𝑥2-1,其中x=-2.解:原式=𝑥+1-2(𝑥+1)(𝑥-1)=1𝑥+1.当x=-2时,原式=1-2+1=-1.解析:原式=a2+1𝑎2-2·a·1𝑎+2·a·1𝑎=𝑎-1𝑎2+2=(6)2+2=8.对应练9(2018·江苏盐城)先化简,再求值:1-1𝑥+1÷𝑥𝑥2-1,其中x=2+1.解:原式=𝑥+1-1𝑥+1·𝑥2-1𝑥=𝑥𝑥+1·(𝑥+1)(𝑥-1)𝑥=x-1.当x=2+1时,原式=2+1-1=2.