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第一篇知识方法固基第一单元数与式第1讲实数的相关概念与运算考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点七考点一实数的概念1.实数的分类(1)按定义分:(2)按正负分:实数:正实数、0、负实数考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点七2.正、负数的意义我们把如零上温度、高于海平面高度等记为正数,而把与它相反意义的量,如零下温度、低于海平面高度等记为负数.3.数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.实数与数轴上的点是一一对应的.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点二相反数、绝对值、倒数(高频)1.相反数(1)只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,零的相反数是零.(2)实数a,b互为相反数⇔a+b=0.2.绝对值(1)在数轴上,表示一个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.(2)一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,即:绝对值具有非负性.考点六3.倒数(1)乘积为1的两个数,叫做互为倒数,实数a,b互为倒数⇔ab=1.(2)非零实数a(a≠0)的倒数是;零没有倒数.特别地,倒数是它本身的数是±1.考点七|a|=𝑎(𝑎0),0(𝑎=0),-𝑎(𝑎0).1𝑎考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点七考点三科学记数法与近似数(高频)1.科学记数法一般地,绝对值大于10的数可记为a×10n的形式,其中1≤|a|10,n为原数的整数位数减1,这种记数的方法叫做科学记数法.2.近似数一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点七考点四平方根、算术平方根与立方根1.平方根一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做二次方根,记为±.一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.2.算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记为,0的算术平方根是0.3.立方根如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根,也叫做三次方根,记为.正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0.𝑎𝑎𝑎3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点七考点五无理数的估算(高频)对无理数的估值,一般先对其平方,找出与平方后所得数字左右相邻的两个开得尽方的整数,并对其进行开方,就可以确定这个根式在哪两个整数之间.例如,估算在哪两个整数之间时,先对平方,找出与7左右相邻的两个开得尽方的整数4和9,因为479,所以77479,即273.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点七考点六实数的大小比较1.数轴上两个点表示的数,右面的点表示的数总比左面的点表示的数大.2.正数大于0,负数小于0,正数大于负数;两个负数比较大小,绝对值大的小于绝对值小的.3.其他常用比较方法(1)差值比较法.依据:若a-b0,则ab;若a-b0,则ab;若a-b=0,则a=b.(2)商值比较法.依据:已知a0,b0,若1,则ab;若=1,则a=b;若1,则ab.𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点七考点七实数的运算(高频)1.实数的每一步运算都要先确定结果的符号,再确定结果的绝对值.2.运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的,同一级运算按照从左到右的顺序依次进行.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三运算法则举例数的乘方an=a·a·…·an个(-2)2=4,(-1)2=1零指数幂a0=1(a≠0)(-2)0=1,(3-π)0=1负整数指数幂a-p=1𝑎𝑝(a≠0,p为整数)2-1=12,12-2=4-1的奇、偶次幂-1的奇次幂是-1,-1的偶次幂是1(-1)2017=-1,(-1)2016=1考点四考点五考点六考点七3.常考的运算及法则考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点1相反数、绝对值、倒数的概念1.(2018·安徽,1,4分)-8的绝对值是(B)A.-8B.8C.±8D.-183.(2016·安徽,1,4分)-2的绝对值是(B)A.-2B.2C.±2D.124.(2013·安徽,1,4分)-2的倒数是(A)A.-12B.12C.2D.-22.(2017·安徽,1,4分)12的相反数是(B)A.12B.-12C.2D.-2考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点2有理数的大小比较5.(2015·安徽,1,4分)在-4,2,-1,3这四个数中,比-2小的数是(A)A.-4B.2C.-1D.3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点3科学记数法6.(2018·安徽,2,4分)2017年我省粮食总产量为635.2亿斤,其中635.2亿用科学记数法表示为(C)A.6.352×106B.6.352×108C.6.352×1010D.635.2×1067.(2017·安徽4,4分)截至2016年底,国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元.其中1600亿用科学记数法表示为(C)A.16×1010B.1.6×1010C.1.6×1011D.0.16×10128.(2016·安徽,3,4分)2016年3月份我省农产品实现出口额8362万美元,其中8362万用科学记数法表示为(A)A.8.362×107B.83.62×106C.0.8362×108D.8.362×108考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点69.(2015·安徽,3,4分)移动互联网已经全面进入人们的日常生活.截至2015年3月,全国4G用户总数为1.62亿,其中1.62亿用科学记数法表示为(C)A.1.62×104B.162×106C.1.62×108D.0.162×10910.(2014·安徽,11,5分)据报载,2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户,其中25000000用科学记数法表示为2.5×107.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点4数的开方11.(2017·安徽,11,5分)27的立方根是3.12.(2015·安徽,11,5分)-64的立方根是-4.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点5无理数的估算13.(2015·安徽,5,4分)与1+最接近的整数是(B)A.4B.3C.2D.1命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6514.(2014·安徽,6,4分)设n为正整数,且nn+1,则n的值为(D)A.5B.6C.7D.865考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点6实数的运算15.(2014·安徽,1,4分)(-2)×3的结果是(C)A.-5B.1C.-6D.616.(2018·安徽,15,8分)计算:50-(-2)+8×2.解:原式=1+2+4=7.17.(2017·安徽,15,8分)计算:|-2|×cos60°-13-1.解:原式=2×12-34分=-2.18.(2014·安徽,15,8分)计算:-|-3|-(-π)0+2013.解:原式=5-3-1+2013=2014.25考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6考法7考法1实数及其分类例1(2018·山东菏泽)下列各数:-2,0,,0.020020002…(两个2之间0的个数逐次加1),π,,其中无理数的个数是()A.4B.3C.2D.1答案:C解析:=3,整数和分数都是有理数,0.020020002…(两个2之间0的个数逐次加1)是有规律的无限不循环的小数,是无理数,圆周率π是无限不循环小数,是无理数.故选C.1399考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6考法7方法总结初中阶段常见的4种无理数(1)开不尽方的数,如2,5,23等;(2)有规律但是不循环的无限小数,如0.30300300030000…(两个3之间依次多一个0)等;(3)最终结果含有π的数,如2π,𝜋2,3π-1;(4)某些特殊角的三角函数值,如sin60°,tan30°.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6考法7对应练1(2017·四川成都)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若气温为零上10℃记作+10℃,则-3℃表示气温为(B)A.零上3℃B.零下3℃C.零上7℃D.零下7℃考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6考法7对应练2(2016·浙江金华)如图是加工零件的尺寸要求,现有下列直径尺寸的产品(单位:mm),其中不合格的是(B)A.ϕ45.02B.ϕ44.9C.ϕ44.98D.ϕ45.01对应练3(2018·沈阳)下列各数中是有理数的是(B)A.πB.0C.2D.53解析:π是无限不循环小数,属于无理数,0是有理数,2、53是无理数.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6考法7考法2实数的相关概念例2(2018·河北张家口桥东区模拟)下列说法正确的有()①若x与3互为相反数,则x+3=0;②-的倒数是2;③|-15|=-15;④负数没有立方根.A.①②③④B.①②④C.①④D.①答案:D解析:①若x与3互为相反数,则x+3=0,正确;②-的倒数是-2,此选项错误;③|-15|=15,此选项错误;④负数有1个立方根,此选项错误.故选D.1212考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6考法7方法总结此题考查了绝对值的性质,要求掌握绝对值的性质及其定义,并能熟练运用到实际运算中.求一个数的相反数,直接在这个数的前面加上负号,有时需要化简得出;乘积是1的两个数互为倒数,0没有倒数,倒数等于本身的数是1或-1.解有关绝对值和数轴问题时,常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6考法7对应练4(2018·贵州贵阳)如图,数轴上有三个点A、B、C,若点A、B表示的数互为相反数,则图中点C对应的数是(C)A.-2B.0C.1D.4解析:∵数轴上点A、B表示的数互为相反数,∴点A、B两点之间距离一半处的点为原点,即点C往左一个单位处是原点,故点C对应的数是1.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6考法7考法3科学记数法例3(2010·安徽)2010年一季度,全国城镇新增就业人数为289万人,用科学记数法表示289万正确的是()A.2.89×107B.2.89×106C.2.89×105D.2.89×104答案:B解析:289万=2890000=2.89×106,故选B.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法5考法6考法7方法总结科学记数法表示的数的形式为a×10n,其中1≤|a|10,n为整数.(1)对于一个很大的数,n为原数的整数位数减1;对于一个大于0小于1的数,n是负整数