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第21讲矩形、菱形、正方形考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点一矩形(高频)矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形的性质对称性矩形是一个轴对称图形,它有两条对称轴矩形是中心对称图形,它的对称中心就是对角线的交点定理(1)矩形的四个角都是直角;(2)矩形的对角线互相平分并且相等推论在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四矩形的判定(1)定义法(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)对角线相等的平行四边形是矩形拓展(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形;(2)矩形的面积等于两邻边的积考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点二菱形(高频)菱形定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形的性质对称性菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴菱形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点定理(1)菱形的四条边相等;(2)菱形的两条对角线互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角菱形的判定(1)定义法(2)四条边相等的四边形是菱形(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四菱形面积(1)由于菱形是平行四边形,所以菱形的面积=底×高(2)因为菱形的对角线互相垂直平分,所以其对角线将菱形分成4个全等三角形,故菱形的面积等于两对角线乘积的一半考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点三正方形(高频)正方形的定义有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的性质(1)正方形的对边平行(2)正方形的四条边相等(3)正方形的四个角都是直角(4)正方形的对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角(5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点正方形的判定(1)有一组邻边相等的矩形是正方形(2)有一个角是直角的菱形是正方形考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点四平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点1矩形的性质1.(2017·安徽,10,4分)如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足S△PAB=S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为(D)13A.29B.34C.52D.41考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解析:设△ABP中AB边上的高是h.∵S△PAB=13S矩形ABCD,∴12AB·h=13AB·AD.∴h=23AD=2.∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.在Rt△ABE中,∵AB=5,AE=2+2=4,∴BE=𝐴𝐵2+𝐴𝐸2=52+42=41,即PA+PB的最小值为41.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点2矩形、菱形的性质综合应用2.(2015·安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是(C)A.25B.35C.5D.6考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解析如图,连接EF交AC于点O,根据菱形性质有FE⊥AC,OG=OH,易证OA=OC.由四边形ABCD是矩形,得∠B=90°,根据勾股定理得AC=42+82=45,OA=25,易证△AOE∽△ABC,则𝑂𝐴𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶,即258=𝐴𝐸45,AE=5,故选C.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点3正方形的性质与判定3.(2014·安徽,10,4分)如图,正方形ABCD的对角线BD长为2,若直线l满足:①点D到直线l的距离为;②A,C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的条数为(B)A.1B.2C.3D.423解析如图,连接AC与BD相交于O,同理,在点D的另一侧还有一条直线满足条件,故共有2条符合题意的直线l.故选B.∵正方形ABCD的对角线BD长为22,∴OD=2,∴直线l∥AC并且到D的距离为3,考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法1矩形的相关证明与计算例1(2018·合肥行知学校模拟)如图,已知▱ABCD,延长AB到E使BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED=AD.(1)求证:四边形BECD是矩形;(2)连接AC,若AD=4,CD=2,求AC的长.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵BE=AB,∴BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形.∵AD=BC,AD=DE,∴BC=DE,∴▱BECD是矩形.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3(2)连接AC,∵CD=2,∴AB=BE=2.∵AD=4,∠ABD=90°,∴BD=𝐴𝐷2-𝐴𝐵2=23,∴CE=23,∴AC=𝐴𝐸2+𝐶𝐸2=27.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3方法总结1.矩形判定的一般思路首先判定是否为平行四边形,再找直角或者对角线的关系.若角度容易求,则证明其一角为90°,便可判定是矩形;若对角线容易求,则证明其对角线相等即可判定其为矩形.2.应用矩形性质计算的一般思路(1)根据矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个直角三角形,用勾股定理或三角函数求线段的长.(2)矩形对角线相等且互相平分,矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形,在利用矩形性质进行相关的计算时,可利用面积法,建立等量关系.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练1(课本习题改编)下列命题,其中是真命题的为(D)A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练2(2017·山东潍坊)如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使点B落在AD上,记为B',折痕为CE;再将CD边斜向下对折,使点D落在B'C上,记为D',折痕为CG,B'D'=2,BE=BC.则矩形纸片ABCD的面积为15.13考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解析:由折叠可知BC=B'C,CD=CD',又B'D'=2,故设BC=x,则CD=x-2,EB'=BE=13x,∴AE=AB-BE=23x-2.由∠EB'C=∠B=90°,易证△CDB'∽△B'AE,∴CD∶B'A=B'C∶B'E=3∶1,∴B'A=𝑥-23.在Rt△B'AE中,由勾股定理,得𝑥-232+23𝑥-22=13𝑥2,整理,得x2-7x+10=0,解得x1=5,x2=2(不合题意,舍去),矩形纸片ABCD的面积为BC·CD=5×3=15.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练3(2018·甘肃白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≌△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解:(1)∵点F是BC边上的中点,∴BF=FC.∵点F,G,H分别BC,BE,CE的中点,∴GF,FH是△BEC的中位线.∴GF=HC,FH=BG.在△BGF和△FHC中,𝐵𝐹=𝐹𝐶,𝐵𝐺=𝐹𝐻,𝐹𝐺=𝐶𝐻,∴△BGF≌△FHC(SSS).(2)当四边形EGFH是正方形时,∠BEC=90°,FG=GE=EH=FH.∵FG,FH是△BEC的中位线,∴BE=CE.∴△BEC是等腰直角三角形.连接EF,∴EF⊥BC,EF=12BC=12AD=12a.∴S矩形ABCD=AD·EF=a×12a=12a2.所以矩形ABCD的面积为12a2.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法2菱形的相关证明及计算例2(2017·江苏扬州)如图,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上,连接AA'.(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∠BAC=,求CB'的长.1213考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解:(1)四边形ACC'A'为菱形.理由如下:∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的,∴AA'∥CC',且AA'=CC'.∴四边形ACC'A'是平行四边形,∠AA'C=∠A'CC'.∵CD平分∠ACC',∴∠ACA'=∠A'CC'.∴∠AA'C=∠ACA',∴AC=AA'.∴四边形ACC'A'为菱形.(2)∵∠B=90°,cos∠BAC=1213,∴𝐴𝐵𝐴𝐶=1213.∵AB=24,∴AC=26.∴BC=𝐴𝐶2-𝐴𝐵2=262-242=10,∴CB'=CC'-B'C'=AC-BC=16.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3方法总结1.菱形判定的一般思路:首先判定是平行四边形,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形来判定,这是判定菱形的最常见思路.也可以考虑其他判定方法,例如若能证明对角线互相垂直平分,也能判定该四边形是菱形.2.应用菱形性质计算的一般思路:因菱形的四条边相等,菱形对角线互相垂直,故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段长.也可以根据菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,结合它的对称性得出的一些结论来计算.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练4(原创题)菱形不具备的性质是(C)A.四条边都相等B.四条边对边平行C.对角线一定相等D.对角线互相垂直对应练5(2018·安庆四中模拟)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是(B)A.AB=ADB.AC=BDC.AC⊥BDD.∠ABO=∠CBO考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破对应练6(2017·北京)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.考法1考法2考法3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3(1)证明:∵E为AD中点,AD=2BC,∴BC=ED.∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形.∵∠ABD=90°,E为AD中点.∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.(2)解:∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1.∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=12,∠ADB=30°.∴∠DAC=30°,∠ADC=60°,∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,AC=3.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法3正方形的相关证明及计算例3(2018·湖北十堰)已知正方形ABCD与正方形CEFG,M是AF的中点,连接DM,EM.(1)如图1,点E在CD上,点G在BC的延长线上,请判断DM,EM的数量关系与位置关系,并直接写出结论;(2)如图2,点E在DC的延长线上,点G在BC上,(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论;(3)将图1