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第五单元四边形第20讲多边形与平行四边形考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点一平行四边形的性质及判定(高频)1.平行四边形的性质平行四边形ABCD边的关系两组对边分别平行且相等AD∥BC,且AD=BC,AB∥CD,且AB=CD角的关系(1)对角相等;(2)邻角互补∠DAB=∠DCB,∠DAB+∠ABC=180°∠ABC=∠ADC,∠DAB+∠ADC=180°对角线的关系对角线互相平分OA=OC,OB=OD考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二2.平行四边形的判定平行四边形ABCD方法一两组对边分别平行的四边形是平行四边形AB∥CD,AD∥BC方法二两组对边分别相等的四边形是平行四边形AB=CD,AD=BC方法三一组对边平行且相等的四边形是平行四边形AB∥CD,AB=CD方法四两组对角分别相等的四边形是平行四边形∠DAB=∠BCD,∠ABC=∠ADC方法五对角线互相平分的四边形是平行四边形OA=OC,OB=OD考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二3.平行四边形的面积平行四边形的面积平行四边形的面积=底×高拓展同底(等底)等高(同高)的平行四边形面积相等两条平行线间的距离在两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线上的距离叫做两条平行线间的距离推论平行线间的距离处处相等考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点二多边形及正多边形的性质1.多边形内角和与外角和n边形(n≥3)内角和定理n边形的内角和为(n-2)·180°外角和定理n边形的外角和为360°对角线过n(n3)边形一个顶点可引(n-3)条对角线,n边形共有𝑛(𝑛-3)2条对角线考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二2.正多边形的概念及性质正n边形(n≥3)概念在平面内,各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形性质正n边形的每一个内角为(n-2)180°n当n为奇数时,正n边形是轴对称图形,对称轴有n条;当n为偶数时,正n边形既是轴对称图形,又是中心对称图形,对称轴有n条考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点1多边形的内角和1.(2015·安徽,8,4分)在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,点E在边AB上,∠AED=60°,则一定有(D)A.∠ADE=20°B.∠ADE=30°C.∠ADE=12∠ADCD.∠ADE=13∠ADC解析设∠A=∠B=∠C=x,根据三角形内角和定理∠ADE=120°-x;根据四边形内角和定理∠ADC=360°-3x=3(120°-x),所以∠ADE=∠ADC,故选D.13命题点3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点2平行四边形的性质2.(2014·安徽,14,5分)如图,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是①②④.(把所有正确结论的序号都填在横线上)①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.12解析①∵F是AD的中点,∴AF=FD,∵在▱ABCD中,AD=2AB,∴AF=FD=CD,∴∠DFC=∠DCF,∵AD∥BC,∴∠DFC=∠FCB,∴∠DCF=∠BCF,∴∠DCF=∠BCD,故①正确;如图,延长EF,交CD延长线于M,∵四边形ABCD是平行四边形,12命题点3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2∴AB∥CD,∴∠A=∠MDF,∵F为AD中点,∴AF=FD,∵在△AEF和△DMF中,∴△AEF≌△DMF(ASA),∴FE=MF,∠AEF=∠M,∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,∴∠AEC=∠ECD=90°,∵FM=EF,∴FC=EF,故②正确;∵EF=FM,∴S△EFC=S△CFM,∵MCBE,∴S△BEC2S△EFC,故③错误;设∠FEC=x,则∠FCE=x,∠𝐴=∠𝐹𝐷𝑀,𝐴𝐹=𝐷𝐹,∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐹𝑀,命题点3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2∴∠DCF=∠DFC=90°-x,∠EFC=180°-2x,∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x,∵∠AEF=90°-x,∴∠DFE=3∠AEF,故④正确.故答案为①②④.命题点3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点3平行四边形的判定3.(2018·安徽,9,4分)▱ABCD中,E、F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是(B)A.BE=DFB.AE=CFC.AF∥CED.∠BAE=∠DCF解析:如图,连接AC与BD,相交于点O,在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,要使四边形AECF为平行四边形,只需证明OE=OF.若BE=DF,则OB-BE=OD-DF,即OE=OF,故A选项不符合题意;若AE=CF,则无法判断OE=OF,故B选项符合题意;AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等,从而得到OF=OE,故C选项不符合题意;∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等,从而得到DF=BE,然后同A,故D选项不符合题意.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法1多边形的内角和例1(2018·山东济宁)如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°.DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是()A.50°B.55°C.60°D.65°答案:C解析:∵五边形的内角和等于540°,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠BCD+∠CDE=540°-300°=240°.∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P,∴∠PDC+∠PCD=(∠BCD+∠CDE)=120°,∴∠P=180°-120°=60°,故选C.12考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3方法总结解答本题的关键是熟练掌握内角和公式(n-2)×180°,另外本题用到了整体思想.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练1(课本习题改编)正十边形的每一个内角的度数为(D)A.120°B.135°C.140°D.144°解析:要计算正十边形的内角,首先利用内角和公式计算出正十边形的内角和,然后再计算每一个内角.∵(10-2)×180°=1440°,∴1440°÷10=144°,还有1种解法,利用正多边形的外角和是360°进行计算,360°÷10=36°,180°-36°=144°,故选D.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法32.(2017·湖北宜昌)如图,将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,下列四种剪法中,符合要求的是(B)A.①②B.①③C.②④D.③④解析:∵①剪开后的两个图形是四边形,它们的内角和都是360°,③剪开后的两个图形是三角形,它们的内角和都是180°;∴①③剪开后的两个图形的内角和相等.对应练3(2018·北京)若正多边形的一个外角为60°,则该多边形的内角和为(C)A.360°B.540°C.720°D.900°考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法2平行四边形的性质例2(2017·山东青岛)如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=,AC=2,BD=4,则AE的长为()A.32B.32C.217D.22173考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3答案:D解析:∵平行四边形ABCD,AC=2,BD=4,∴AO=1,BO=2.∵AB=3,∴△ABO是直角三角形,∠BAO=90°.∴BC=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=7.在直角△ABC中,S△ABC=12AB·AC=12BC·AE,即123×2=127·AE,解得AE=2217.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练4(2018·海南)如图,▱ABCD的周长为36,对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为(A)A.15B.18C.21D.24解析:∵▱ABCD的周长为36,∴BC+CD=12×36=18,OB=OD=12BD=12×12=6.∵点E是CD的中点,∴OE=12BC,DE=12CD,∴△DOE的周长=OD+OE+DE=6+12BC+12CD=6+12(BC+CD)=6+12×18=15,故选A.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练5(2017·青海)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE∶EC=3∶1,连接AE交DB于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(D)A.1∶3B.3∶4C.1∶9D.9∶16解析:∵DE∶EC=3∶1,∴DE∶DC=3∶4.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∴DE∶AB=3∶4,△DEF∽△BAF.∴S△DEF∶S△BAF=9∶16.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练6(2018·湖北黄冈)如图,在▱ABCD中,分别以边BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE.(1)求证:△ABF≌△EDA;(2)延长AB与CF相交于G,若AF⊥AE,求证:BF⊥BC.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解:(1)在▱ABCD中,AB=DC,BC=AD,∠ABC=∠ADC,AD∥BC,∵BC=BF,CD=DE,∴AB=DE,BF=AD,又∵∠CBF=∠CDE,∴∠ABF=360°-∠ABC-∠CBF,∠EDA=360°-∠ADC-∠CDE,∴∠ABF=∠EDA,∴△ABF≌△EDA.(2)由(1)知∠EAD=∠AFB,∠GBF=∠AFB+∠BAF,∵AD∥BC,∴∠DAG=∠CBG,∴∠FBC=∠FBG+∠CBG=∠EAD+∠FAB+∠DAG=∠EAF=90°,∴BF⊥BC.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法3平行四边形的判定例3(2017·山西)已知:如图,在▱ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线AC交于点O.求证:OE=OF.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3证明:如图,连接AF,CE.在▱ABCD中,由平行四边形的性质得AB∥DC,且AB=DC,又∵BE=DF,∴AB+BE=DC+DF,即AE=FC.又∵AB∥DC,∴四边形AECF是平行四边形.∴OE=OF.方法总结本题考查平行四边形的判定.解此类题的关键是熟练掌握平行四边形的5个判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练7(2018·山东东营)如图,在四边形ABCD中,E是BC边中点,连接DE并延长,交AB的延长线于F,AB=BF.添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形,你认为下列四个条件可选择的是(D)A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠CD.∠F=∠CDF解析:题中有AB=BF,因此应证AB∥CD,AB=CD.而要证这两个条件应证△BEF≌△CED.结合题干中条件:E为BC中点,又有对顶角,因此添加∠F=∠CDF可证△BEF≌△CED,可得AB∥CD,AB=CD.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练8(2018·江苏常州)