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第16讲等腰、等边与直角三角形考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点一等腰(边)三角形的性质与判定(高频)1.等腰三角形性质(1)是轴对称图形,对称轴是顶角平分线所在的直线;(2)底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”);(3)两底角相等(简称“等边对等角”)判定(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”);(2)有两边相等的三角形是等腰三角形考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三2.等边三角形性质(1)三个内角相等,且都等于60°;(2)三边相等;(3)底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)判定(1)三个角都是60°的三角形是等边三角形;(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;(3)三条边相等的三角形是等边三角形考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点二直角三角形的性质与判定性质(1)直角三角形的两个锐角互余;(2)斜边上的中线等于斜边的一半;(3)30°角所对的直角边等于斜边的一半;(4)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°;(5)直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.判定(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形;(2)利用勾股定理的逆定理进行判定考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点三线段的垂直平分线定义经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫这条线段的垂直平分线,简称线段的中垂线.性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断1.(2014·安徽,8,4分)如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为(C)A.53B.52C.4D.5解析设BN=x,则由折叠的性质可得DN=AN=9-x,根据中点的定义可得BD=3,在Rt△DBN中,根据勾股定理可得关于x的方程,解方程即可求解.设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,∵D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△DBN中,x2+32=(9-x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.命题点1直角三角形的性质命题点1命题点2考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断2.(2010·安徽,14,5分)如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是②③④.(把所有正确答案的序号都填写在横线上)①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB-BD=AC-CD.命题点1命题点2命题点2等腰(边)三角形性质与判定考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断解析②当∠BAD=∠CAD时,AD是∠BAC的平分线,且AD是BC边上的高,∴△BAC是等腰三角形;(等腰三角形三线合一)③延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE,AF.∵AB+BD=CD+AC,∴DE=DF,又AD⊥BC,∴△AEF是等腰三角形;∴∠E=∠F;∵AB=BE,∴∠ABC=2∠E;同理,得∠ACB=2∠F;∴∠ABC=∠ACB,即AB=AC,△ABC是等腰三角形;命题点1命题点2考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断④在△ABC中,AD⊥BC,根据勾股定理,得AB2-BD2=AC2-CD2,即(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD);∵AB-BD=AC-CD,∴AB+BD=AC+CD;∴两式相加得,2AB=2AC,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.命题点1命题点2考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法1等腰(边)三角形的性质与判定例1(2017·天津)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()A.BCB.CEC.ADD.AC答案:B解析:由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称,BP=CP,因此BP+CP的最小值为CE的长,故选B.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2方法总结等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推导出两角相等,是证明两角相等常用的依据之一.等腰三角形的“三线合一”性质是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据,作高(或者顶角平分线、底边中线)是常用辅助线.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练1(2018·浙江湖州)如图,AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是(B)A.20°B.35°C.40°D.70°解析:∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,∴∠ACD=70°.∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=35°.故选B.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练2(2018·内蒙古包头)如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D、E分别在BC、AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为(D)A.17.5°B.12.5°C.12°D.10°解析:由∠C+∠BAC=145°得∠B=35°,由AB=AC得∠B=∠C=35°,由等腰直角三角形的性质可得∠AED=45°,∵∠AED=∠EDC+∠C,∴∠EDC=45°-35°=10°.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练3(2018·湖南娄底)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D点,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则BF=6cm.解析:在Rt△ADB和Rt△ADC中,𝐴𝐵=𝐴𝐶,𝐴𝐷=𝐴𝐷,∴Rt△ADB≌Rt△ADC,∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB·DE=AB·DE=3AB,∵S△ABC=12AC·BF,∴12AC·BF=3AB,∵AC=AB,∴12BF=3,∴BF=6,故答案为6.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法2直角三角形的性质与判定例2(2016·湖北鄂州)如图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=120°,P是直线l上一点.当△APB为直角三角形时,AP=.答案3或33或37考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2解析当∠APB=90°时,分两种情况讨论,情况一:如图1,∵AO=BO,∴PO=BO,∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,∴△AOP为等边三角形,∴∠OAP=60°,∴∠PBA=30°,∴AP=AB=3;图112考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2∴AP=OA·tan∠AOP=3×3=33,情况二:如图2,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=BO,∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,∴△BOP为等边三角形,∴∠OBP=60°,当∠BAP=90°时,如图3,∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,∴AP=AB·sin60°=6×32=33;图2图3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2当∠ABP=90°时,如图4,∵∠1=120°,∴∠BOP=60°.∵OB=3,∴PB=33,∴PA=𝑃𝐵2+𝐴𝐵2=37.图4方法总结本题主要考查了勾股定理,含30°角直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线,利用分类讨论、数形结合是解答此题的关键.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练4(2018·四川泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为(D)A.9B.6C.4D.3解析:因为ab=8,所以每一个直角三角形的面积为ab=4,则小正方形的面积为25-4×4=9,所求边长为3.12考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练5(2018·湖北黄冈)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=(C)A.2B.3C.4D.23解析:在Rt△ABC中,CE为AB边上的中线,所以CE=12AB=AE.因为CE=5,AD=2,所以DE=3,因为CD为AB边上的高,所以在Rt△CDE中,CD=𝐶𝐸2-𝐷𝐸2=4,故选C.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2解析:在Rt△ABC中,因为AC=8cm,BC=6cm,所以AB=10cm.设CE=xcm,由折叠的性质得,BE=AE=(8-x)cm,在Rt△BCE中,根据勾股定理得62+x2=(8-x)2,解得x=.74对应练6(2017·甘肃庆阳)如图,有一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕DE长等于cm.74