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第15讲三角形的基本概念与性质考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点一三角形的分类1.按边分等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特例)不等边三角形2.按角分锐角三角形直角三角形钝角三角形考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点二三角形的基本性质1.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.2.三角形内角和性质及内外角关系(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点三三角形中的重要线段四线定义性质图形中线连接一个顶点与它对边中点的线段BD=DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC,即∠ADB=∠ADC=90°角平分线一个内角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段∠1=∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC,且DE=12BC考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点1三角形的基本性质1.(2013·安徽,6,4分)如图,AB∥CD,∠A+∠E=75°,则∠C为(C)A.60°B.65°C.75°D.80°解析:∵∠A+∠E=75°,∴∠EOB=∠A+∠E=75°,∵AB∥CD,∴∠C=∠EOB=75°.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点2三角形中位线的相关计算2.(2011·安徽,6,4分)如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长是(D)A.7B.9C.10D.11考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2解析∵BD⊥DC,BD=4,CD=3,∵E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×(2.5+3)=11.∴BC=𝐵𝐷2+𝐶𝐷2=5.∴HG=12BC=EF=2.5,EH=FG=12AD=3.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法1三角形分类及性质例1(2008·安徽)如图,已知a∥b,∠1=70°,∠2=40°,则∠3=.答案70°解析由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°,在△ABC中,由三角形内角和知∠ABC=180°-∠1-∠ACB=70°.又a∥b,∴∠3=∠ABC=70°.方法总结此类试题考查了平行线的性质定理、三角形内角和定理的推论以及转化思想,解题的关键是通过转化把分散的两角集中在同一个三角形中.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练1(2018·湖北鄂州)一副三角板如图放置,则∠AOD的度数为(C)A.75°B.100°C.105°D.120°解析:由题意可知,∠ABC=45°,∠DBC=30°,∴∠ABO=∠ABC-∠DBC=45°-30°=15°,∵∠BOC是△AOB的一个外角,∴∠BOC=∠ABO+∠A=15°+90°=105°,∴∠AOD=∠BOC=105°.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练2(2018·湖南长沙)下列长度的三条线段,能组成三角形的是(B)A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cmD.6cm,7cm,14cm解析:三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.A选项中4+5=9,两边之和等于第三边,故A错误;C选项中5+5=10,两边之和等于第三边,故C错误;D选项中6+7=1314,两边之和小于第三边,故D错误;B选项中8+8=1615,故B正确.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法2三角形中重要线段例2(2018·湖北黄石)如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD=()A.75°B.80°C.85°D.90°答案:A解析:根据三角形内角和定理,得∠ACD=180°-(∠BAC+∠ABC)=70°,∴∠CAD=90°-∠ACD=20°.∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE=∠BAC=25°.∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=25°-20°=5°.∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°.12考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2方法总结三角形的高可以用来求三角形的面积,三角形的角平分线可以用来得到角相等和线段相等;三角形的中线把三角形的一边分成相等的两段,同时也把三角形分成面积相等的两部分.一般来说,题中涉及边的中点时,常联想到运用三角形的中位线性质,主要有两个作用,一是求线段的长,二是得出直线的平行关系,进一步得到角的数量关系.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练3(2018·贵州贵阳)如图,在△ABC中有四条线段DE,BE,EG,FG,其中有一条线段是△ABC的中线,则该线段是(B)A.线段DEB.线段BEC.线段EGD.线段FG考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练4(2018·江苏南充)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD的中点,若BC=2,则EF的长度为(B)A.12B.1C.32D.3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2解析:∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=BD=AD,∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,∴△CBD为等边三角形,∴CD=BC=2.∵E,F分别为AC,AD的中点,∴EF=CD=1,故选B.12