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第四单元图形初步与三角形第14讲角、相交线与平行线考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点一直线和线段1.两个基本事实(1)两点确定一条直线;(2)两点之间线段最短.2.两点之间的距离连接两点的线段的长度,叫做这两点间的距离.3.线段中点(1)定义:如图,若点B在线段AC上,且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC,点B叫做线段AC的中点.(2)线段中点的几何表示:AB=BC=AC,或AC=2AB=2BC.12考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点二角的相关概念及性质1.概念一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做角.2.度量角的度量单位为度、分、秒,并且1°=60',1'=60″;一周角=2平角=4直角=360°.3.余角与补角(1)如果两个角的和等于一个直角,那么说这两个角互为余角(简称互余),也说其中一个角是另一个角的余角.(2)如果两个角的和等于一个平角,那么说这两个角互为补角(简称互补),也说其中一个角是另一个角的补角.(3)余角与补角的性质:同角(或等角)的余角相等,同角(或等角)的补角相等.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六4.角平分线的概念及其性质(1)定义:以一个角的顶点为端点的一条射线,如果把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做该角的平分线.如图,若OC平分∠AOB,则∠AOC=∠BOC=∠AOB.12考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六(2)性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.如图,若OC平分∠AOB,点P在OC上,且PM⊥OA,PN⊥OB,则PM=PN.逆定理:在角的内部,到角两边距离相等的点在角平分线上.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点三相交线1.对顶角(1)定义:两条直线相交组成的四个角中,有公共顶点且没有公共边的两个角叫做对顶角.(2)性质:对顶角相等.2.邻补角(1)定义:两条直线相交组成的四个角中,有公共边的两个角叫邻补角.(2)性质:邻补角互补.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六3.同位角、内错角和同旁内角如图,在同一平面内,两条直线被第三条直线所截得到八个角,其中是同位角的有∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8;其中是内错角的有∠2和∠8,∠3和∠5;其中是同旁内角的有∠2和∠5,∠3和∠8.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点四垂线及其性质定义两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.性质1.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点五平行线的判定及性质(高频)平行线的定义在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线平行公理过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行平行公理推论如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六平行线间的距离过平行线上一点作另一条平行线的垂线,垂线段的长度叫两条平行线间的距离两条平行线间距离处处相等考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点六命题、定理与证明1.命题判断一件事情的语句,叫做命题.命题由条件和结论两部分组成.2.真、假命题如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.如果题设成立,结论不成立,这样的命题叫做假命题.3.证明一个命题的正确性需要经过推理作出判断,这个推理过程叫做证明.4.基本事实、定理从实践中总结出来的真命题叫做基本事实,经过证明的并且常作为推理依据的真命题叫做定理.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点六5.互逆命题与互逆定理(1)在两个命题中,如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题称为互逆命题;(2)如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点1平行线的性质与三角形内角和1.(2017·安徽,6,4分)直角三角板和直尺如图放置,若∠1=20°,则∠2的度数为(C)A.60°B.50°C.40°D.30°考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2解析:如图,过点E作EF∥AB,则AB∥EF∥CD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵∠3+∠4=60°,∴∠1+∠2=60°,∵∠1=20°,∴∠2=40°.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点2平行线的性质与对顶角2.(2011·安徽,3,4分)如图,直线l1∥l2,∠1=55°,∠2=65°,则∠3为(C)A.50°B.55°C.60°D.65°解析如图,∵l1∥l2,∠2=65°,∴∠6=65°.∵∠1=55°,∴∠4=∠1=55°.在△ABC中,∠6=65°,∠4=55°,∴∠3=180°-65°-55°=60°.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法1角度相关概念及性质例1(2017·山东滨州)如图,直线AC∥BD,AO,BO分别是∠BAC,∠ABD的平分线,那么下列结论错误的是()A.∠BAO与∠CAO相等B.∠BAC与∠ABD互补C.∠BAO与∠ABO互余D.∠ABO与∠DBO不等答案:D解析:∵AO,BO分别是∠BAC,∠ABD的平分线,∴∠BAO=∠CAO,∠ABO=∠DBO.∵AC∥BD,∴∠CAB+∠ABD=180°.∴∠BAO,∠CAO中的任一角与∠ABO,∠DBO中任一角的和都是90°.∴A,B,C中结论正确,D中结论错误.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法总结先由平行线性质得出∠CAB与∠ABD互补,再根据角平分线性质判断.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练1(2018·甘肃白银)若一个角为65°,则它的补角的度数为(C)A.25°B.35°C.115°D.125°对应练2(2018·山东日照)若一个角是70°39',则它的余角的度数是19°21'.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法2相交线例2已知△ABC中,AC⊥BC,AC=5,BC=12,则C到AB的距离是.答案6013解析过C作CD⊥AB于D,则CD是C到AB的距离.∵AC⊥BC,∴AB=AC2+BC2=13.∴13CD=5×12.∴CD=6013.方法总结点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度.一般是在直角三角形中计算.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练3(2017·北京)如图所示,点P到直线l的距离是(B)A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段PD的长度考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练4(2018·河南)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为140°.解析:∵EO⊥AB,∴∠EOB=90°.∵∠EOD=50°,∴∠DOB=90°-50°=40°.∴∠COB=180°-∠DOB=180°-40°=140°.故答案为140°.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法3平行线的判定及性质例3(2009·安徽)如图,直线l1∥l2,则∠α为()A.150°B.140°C.130°D.120°答案D解析∵l1∥l2,∴∠1=180°-130°=50°.∴∠α=70°+50°=120°.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法总结1.涉及平行线,便要想到平行线的性质定理:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.2.平行线性质的主要用途是解决与平行线有关的角度计算和判定角的相等关系.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练5(2018·湖南郴州)如图,直线a、b被直线c所截,下列条件中,不能判定a∥b的是(D)A.∠2=∠4B.∠1+∠4=180°C.∠5=∠4D.∠1=∠3解析:∵∠2=∠4,∴a∥b(同位角相等,两直线平行),故A正确;∵∠1+∠4=180°,∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行),故B正确;∵∠5=∠4,∴a∥b(内错角相等,两直线平行),故C正确;而∠1、∠3是对顶角,无法判定出a、b的关系,故选D.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练6(2018·山东聊城)如图,直线AB∥EF,点C是直线AB上一点,点D是直线AB外一点,若∠BCD=95°,∠CDE=25°,则∠DEF的度数是(C)A.110°B.115°C.120°D.125°考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4解析:方法一:如图所示,过点D作DM∥EF,则DM∥EF∥AB,∴∠CDM+∠BCD=180°,∠EDM+∠DEF=180°.∵∠BCD=95°,∠CDE=25°,∴∠DEF=180°-∠EDM=180°-(∠CDM-∠CDE)=180°-∠CDM+∠CDE=180°-(180°-∠BCD)+∠CDE=180°-(180°-95°)+25°=120°.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法二:如图所示,反向延长EF交CD于点N,∵AB∥EF,∴∠DNE=∠BCD=95°.∵∠CDE=25°,∴∠DEF=∠DNE+∠CDE=95°+25°=120°.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法4命题例4(2018·内蒙古包头)已知下列命题:①若a3b3,则a2b2;②若点A(x1,y1)和B(x2,y2)在二次函数y=x2-2x-1的图象上,且满足x1x21,则y1y2-2;③在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a∥c;④周长相等的所有等腰直角三角形全等.其中真命题的个数是()A.4B.3C.2D.1答案:C考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4解析:①若a3b3,则ab,但不能确定a2b2,为假命题;②二次函数的图象开口向上,对称轴为x=1,且满足x1x21,在图象对称轴的左侧y随x的增大而减小,但纵坐标大于最小值-2,为真命题;③在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a⊥c,为假命题;④周长相等的所有等腰直角三角形全等,为真命题.故选C.方法总结假命题是指题设正确而结论不正确的命题,判断一个命题的真假,有两种最常用的方式:(1)将命题与已知的定理、公理、定义作比较;(2)沿题设出发,举一个例子说明该命题不成立即可.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练7(2018·江苏无锡)命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四边都相等.