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第7讲分式方程及其应用考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点一分式方程及其解法(高频)1.定义分母中含有未知数的方程叫分式方程.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二基本思路分式方程整式方程解法步骤(1)方程两边同乘以各个分式的最简公分母,约去分母,化为整式方程;(2)解这个整式方程;(3)检验:把求得的未知数的值代入最简公分母中,看分母是否为0,使分母为0的根是原方程的增根,必须舍去验根方法(1)利用方程的解的定义进行检验;(2)将解得的整式方程的根代入最简公分母,看计算结果是否为0,不为0就是原分式方程的根,若为0则为增根,必须舍去2.分式方程的解法考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点二分式方程的应用1.列分式方程解应用题的一般步骤列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤基本相同:审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答.不同点:一是列分式方程解应用题是用分式表示数量间的等量关系;二是列分式方程解应用题必须验根,既要检验是否为分式方程的增根(增根应舍去),又要看是否满足应用题的实际意义.2.列分式方程解应用题的常见类型分式方程的应用题主要涉及工程问题、工作量问题、行程问题等,每个问题中涉及三个量的关系,如:工作时间=,时间=.如果工作总量和路程是已知条件,另外的两个量又分别具有某种等量关系,常可以建立分式方程模型来解决.工作总量工作效率路程速度考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点1解分式方程1.(2016·安徽,5,4分)方程=3的解是(D)2𝑥+1𝑥-1A.-45B.45C.-4D.42.(2014·安徽,13,5分)方程4𝑥-12𝑥-2=3的解是x=6.解析去分母,得2x+1=3x-3.解得x=4.经检验x=4是分式方程的解.故选D.解析去分母,得4x-12=3x-6.解得x=6.经检验x=6是分式方程的解.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点2列分式方程解应用题3.(2013·安徽,20,10分)某校为了进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元,购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多,多出的部分能购买25副乒乓球拍.(1)若每副乒乓球拍的价格为x元,请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用;(2)若购买的两种球拍数一样,求x.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2解(1)若每副乒乓球拍的价格为x元,则购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用为(4000+25x)元.3分(2)若购买的两种球拍数一样,根据题意,得.解得x1=40,x2=-40.7分经检验:x1=40,x2=-40都是原方程的解,但x2=-40不合题意,舍去.所以x=40.10分2000x=2000+25xx+20考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法1解分式方程例1(2018·广西南宁)解分式方程𝑥𝑥-1-1=2𝑥3𝑥-3.分析:先找出最简公分母,方程左右两边乘最简公分母3(x-1),化为整式方程,再解整式方程,最后一定注意检验.解:方程左右两边同乘3(x-1),得3x-3(x-1)=2x3x-3x+3=2x2x=3x=32检验:当x=32时,3(x-1)≠0.∴原分式方程的解为x=32.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2方法总结解分式方程注意事项(1)解分式方程的基本思想是转化,即通过去分母把分式方程转化成整式方程来解.(2)解分式方程去分母时,先要找准最简公分母,分母是多项式时,应先分解因式;其次,特别不要漏乘没有分母的项,分子是多项式时还要注意添括号、避免符号等变形错误.(3)解分式方程必须验根,一般方法为把所解得的未知数的值代入最简公分母,若为零则为増根,不为零则为原分式方程的解.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练1(2018·四川成都)分式方程𝑥+1𝑥+1𝑥-2=1的解是(A)A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=-3对应练2(2017·山东聊城)如果解关于x的分式方程=1时出现增根,那么m的值为(D)A.-2B.2C.4D.-4𝑚𝑥-2−2𝑥2-𝑥解析:𝑥+1𝑥+1𝑥-2=1,去分母得(x-2)(x+1)+x=x(x-2),解得x=1,检验:把x=1代入x≠0,且(x-2)≠0,∴x=1是原方程的解.故选A.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练3(2017·四川凉山)若关于x的方程x2+2x-3=0与有一个解相同,则a的值为(C)A.1B.1或-3C.-1D.-1或32𝑥+3=1𝑥-𝑎解析:解方程x2+2x-3=0得x1=1,x2=-3,∵x=-3是方程2𝑥+3=1𝑥-𝑎的增根,∴x=1是方程2𝑥+3=1𝑥-𝑎的解,∴21+3=11-𝑎,解得a=-1.故选C.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法2分式方程的应用例2(2018·山东淄博)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%.结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是()A.60𝑥−60(1+25%)𝑥=30B.60(1+25%)𝑥−60𝑥=30C.60×(1+25%)𝑥−60𝑥=30D.60𝑥−60×(1+25%)𝑥=30考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2答案:C解析:实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则原计划为𝑥1+25%,从而可得原计划时间为60×(1+25%)𝑥,实际时间为60𝑥,再根据提前30天完成任务可列方程为60×(1+25%)𝑥−60𝑥=30,故选C.方法总结本题考查了列分式方程解应用题,在实际问题中找出等量关系是列分式方程解方程的关键.在解分式方程时要注意检验根的合理性.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练4(2018·湖南益阳)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是(C)A.40×1.25x-40x=800B.800𝑥−8002.25𝑥=40C.800𝑥−8001.25𝑥=40D.8001.25𝑥−800𝑥=40解析:设小俊的速度是x米/秒,则小进的速度为1.25x,小俊所用时间为800𝑥,小进所用时间为8001.25𝑥,所列方程为800𝑥−8001.25𝑥=40,故选C.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练5(2018·浙江舟山)甲、乙两个机器人检测零件,甲比乙每小时多检测20个,甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%.若设甲每小时检测x个.则根据题意,可列出方程:×(1-10%).300𝑥=200𝑥-20解析:本题的等量关系是甲检测300个的时间=乙检测200个所用的时间×(1-10%),甲检测300个零件所花时间为300𝑥,乙检测200个零件所花时间为200𝑥-20,故所列方程为300𝑥=200𝑥-20×(1-10%).考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2对应练6(2018·新疆)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支,第二次又用600元购进该款铅笔,但这次每支的进价是第一次进价的倍,购进数量比第一次少了30支,则该商店第一次购进的铅笔,每支的进价是4元.54解析:设第一次购进的铅笔每支进价为x元,则第二次购进的铅笔每支进价为54x元,根据题意,得600𝑥=60054𝑥+30,解得x=4,并经检验x=4是原方程的解且符合题意,因此答案为4.